Аналіз проходження дискретних випадкових сигналів через лдс

Мета роботи: ознайомитись на практиці з методами стохастичного аналізу стаціонарних ЛДС при дії на вході дискретних випадкових сигналів.

Короткі теоретичні відомості

Розглянемо деяку ЛДС (див. рис. 4.1), на вході якої діє дискретний випадковий процес , де - нормований відносно інтервалу дискретизації час. Відомі розподіли ймовірностей вхідного процесу та імпульсна характеристика

Рис. 4.1. Лінійна дискретна система

ЛДС. Потрібно знайти моментні функції (математичне сподівання, дисперсію, кореляційну функцію) процесу на виході . Таке дослідження процесу на виході ЛДС називають стохастичним аналізом в рамках кореляційної теорії.

Формально для відгуку ЛДС можемо записати:

. (4.1)

Введемо позначення для математичних сподівань: і . Тоді можемо записати:

(4.2)

Отже, згідно зі співвідношенням (4.2), математичне сподівання відгуку ЛДС у певний момент часу дорівнює зваженій сумі значень математичного сподівання вхідного процесу. Роль вагових коефіцієнтів відіграють відповідні значення імпульсної характеристики ЛДС.

Зазначимо, що згідно з умовою фізичної можливості коли . Тому в (4.2) всі доданки з дорівнюють нулеві, тобто можна записати

(4.3)

Кореляційна функція відгуку ЛДС. Перейдемо тепер безпосередньо до розгляду кореляційної функції процесу на виході ЛДС. При цьому дисперсію зможемо знайти як частинний випадок кореляційної функції коли зсув між значеннями відгуку дорівнює нулеві.

Оскільки при знаходженні кореляційної функції випадкового процесу використовується процедура центрування останнього, то спершу розглянемо представлення центрованого процесу на виході ЛДС. Центрований дискретний процес на виході ЛДС позначимо так:

,

де . Тепер, використовуючи співвідношення (4.1) і (4.2), можемо записати

=

отримаємо процес з нульовим математичним сподіванням.

Тоді, враховуючи означення для кореляційної функції відгуку ЛДС, маємо

, (4.4)

для стаціонарних ЛДС.

Нагадаємо тепер, що коли для кореляційної функції деякого дискретного процесу покласти , то отримуємо дисперсію цього процесу . Таким чином, використовуючи отриманий вище вираз (4.4) для кореляційної функції, можемо записати співвідношення для дисперсії відгуку ЛДС:

,

Взаємна кореляційна функція впливу і відгуку ЛДС. Знову розглянемо ЛДС (див. рис. 4.1). Використовуючи зображення центрованого відгуку системи , представленого правою частиною співвідношення (4.1), можемо записати для взаємної кореляційної функції вхідного процесу і процесу на виході ЛДС у такому вигляді:

.

Оскільки перший співмножник в квадратних дужках у правій частині не залежить від індексу підсумовування, то його можна внести під знак суми і записати

,

Література: [1, стор. 279 - 286].

 

Завдання до лабораторної роботи

1. Виконати стохастичний аналіз нерекурсивної ЛДС при дії на вході дискретного випадкового сигналу (оцінити математичне сподівання, дисперсію, коефіцієнт кореляції та побудувати гістограму за реалізацією вихідного процесу).

2. Виконати стохастичний аналіз рекурсивної ЛДС при дії на вході дискретного випадкового сигналу (оцінити математичне сподівання, дисперсію, коефіцієнт кореляції та побудувати гістограму за реалізацією вихідного процесу).

 

Порядок виконання роботи

Для виконання роботи необхідно запустити програмне середовище MATCAD та виконати наступні пункти роботи.

1. Здійснити стохастичний аналіз нерекурсивної ЛДС при дії процесу ковзного середнього. Для цього

1.1. Отриману в п. 2 лабораторної роботи 3 реалізацію процесу ковзного середнього пропустити через нерекурсивну ЛДС (коефіцієнти системи задаються викладачем) за допомогою функції filter і отримати реалізацію на виході.

1.2. Зобразити та порівняти реалізації процесів на вході і виході ЛДС.

1.3. За допомогою функцій mean, std і xcorr розрахувати оцінки математичного сподівання, дисперсії і коефіцієнта кореляції вихідного процесу.

1.4. За допомогою функції hist побудувати гістограму реалізації процесу на виході.

2. Здійснити стохастичний аналіз рекурсивної ЛДС при дії процесу ковзного середнього. Для цього дослідження, аналогічні пп. 1.1 – 1.4, виконати для рекурсивної системи.

3. Здійснити стохастичний аналіз нерекурсивної ЛДС при дії процесу авторегресії-ковзного середнього. Для цього слід скористатись реалізацією, сформованою в п. 5 лабораторної роботи 3 і далі виконати дослідження, аналогічні пп. 1.1 – 1.4, але для процесу авто регресії-ковзного середнього.

4. Здійснити стохастичний аналіз рекурсивної ЛДС при дії процесу авторегресії-ковзного середнього. Для цього слід скористатись реалізацією, сформованою в п. 5 лабораторної роботи 3 і далі виконати дослідження, аналогічні п. 2, але для процесу авто регресії-ковзного середнього.

5. Проаналізувати отримані результати за пп. 1 – 4 і зробити висновки.

Контрольні питання

1. Що таке стохастичний аналіз ЛДС в рамках кореляційної теорії?

2. Запишіть формально зв’язок між вхідним і вихідним випадковими процесами для ЛДС у часовій області.

3. Наведіть співвідношення між математичними сподіваннями процесів на вході і виході ЛДС.

4. Що таке центрований випадковий процес?

5. Запишіть співвідношення для визначення кореляційної функції випадкового процесу на виході ЛДС.

6. Як знайти дисперсію випадкового процесу на виході ЛДС коли відома його кореляційна функція?

7. Наведіть означення взаємної кореляційної функції?

8. Чи можна визначити взаємну кореляційну функцію впливу і відгуку ЛДС коли відома автокореляційна функція випадкового процесу на вході?

 

Лабораторна робота 5