Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
По правилам дифференцирования дроби получим
б) .
Решение. По правилам дифференцирования произведения получим
в)
Решение. Дифференцируем как сложную функцию.
г) . Это неявная функция.
Решение. , , . Задача 6. С помощью правила Лопиталя вычислить пределы функций: 1) . Решение. Непосредственная подстановка х = 0 приводит к неопределенности вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя: заменить предел отношения функций пределом отношения их производных.
2)
Решение. При получим неопределенность вида , когда можно применить правило Лопиталя. Задача 7. Исследовать функцию и построить ее график. Решение.
Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования, либо конце исследования (рис.2).
Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области определения. Здесь вертикальная асимптота . , - предел слева в точке ; - предел справа. Наклонные асимптоты вида Найдем, если существуют конечные пределы и . Здесь Итак, - уравнение наклонной асимптоты.
5) Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума. Найдем производную первого порядка. Найдем критические точки первого рода и выясним знаки на полученных интервалах в окрестности критических точек. Критические точки: х1 = 0, х2 = 3, х3 = 1 - последняя н входит в область определения функции. Используя достаточные признаки экстремума, выясним, как меняет знак при переходе через критические точки слева направо. Возьмем непрерывный интервал , содержащий точку . ; . Так как при переходе через точку производная знак не имеет, то функция монотонно возрастает и не является точкой экстремума. Возьмем интервал , содержащий точку х = 3. ; . Здесь производная меняет знак с «-» на «+», значит, х =3 – точка минимума функции .
Итак, функция возрастает на интервалах и , убывает на интервале (1;3).
6) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба. Вычислим производную второго порядка и найдем критические точки второго рода. Критические точки второго рода, при которых в нуль или существует, такие , , но эта последняя не входит в область определения функции. Остается точка х = 0. Проверим меняет ли знак при переходе через эту точку. Возьмем интервал (-1; ), содержащий точку х = 0. Вычислим , . Отсюда следует, что х = 0 – точка перегиба, . . Отсюда следует, что - интервал выпуклости; , - интервалы вогнутости кривой.
Задача 8. Три пункта А.В. и С расположены так, что угол АВС (рис.3) равен 600. Расстояние между пунктами А и В равно 200 км. Одновременно из пункта А выходит автомобиль, а из пункта В – поезд. Автомобиль движется по направлению к пункту В со стороны 80 км/ч, а поезд движется по направлению к пункту С со скоростью 50 км/ч. Через скорость времени расстояние между автомобилем и поездом будет наименьшим? Решение.
рис. 3.
Тогда получим уравнение ; км. Отсюда . Найдем первую производную по t: . Приравнивая первую производную к нулю получим откуда или - критическая точка. Квадратный трехчлен под корнем в знаменателе в ноль не обращается ни при каких действительных значениях t, поскольку его дискриминант Д . Легко видеть, что при переходе через критическую точку t0 от меньших значений t к большим, например, от t = 1 до t = 2, первая производная меняет знак с минуса на плюс . Следовательно, t0 = 1.6279 часа – точка минимума функции s. А так как других экстремумов эта функция не имеет, то в точке минимума функция имеет наименьшее значение: .
Задача 9. Найти частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных: а) Решение. Найти частные производные ; . Составим полный дифференциал по формуле .
Получим . б) . Решение. Найдем частные производные . Составим полный дифференциал .
Задача 10. Найти экстремум функции Решение. Найдем частные производные: и смешанную производную . Необходимое условие экстремума: и Решим систему уравнений x = 2y, 4y – y = -9, y = -3 x = -9 Итак, точка P(-9; -3) критическая точка. Составим выражение и вычислим его значение в критической точке P(-9; -3). Тогда, если , то P- точка экстремума. При этом, если , то Р – точка минимума, а если , то Р – точка максимума, Если , экстремума нет, а если - экстремум может быть, а может не быть. Нужны дополнительные исследования. Установим характер экстремума в точке P(-9; -3). , следовательно, P(-9; -3)- точка экстремума, а так как независимо от координат точки Р, то P(-9; -3) – точка минимума данной функции.
Задача 11. Найти неопределенные интегралы а) , б) , в) , г) , д) . Предлагаемые интегралы можно, применив основные методы интегрирования; метод замены переменной подстановка, метод интегрирования по частям. Решение. а) ; Подстановка: . Найдем дифференциалы обеих частей подстановки или . Произведем замену переменной в подынтегральном выражении и найдем интеграл . б) . В первом из интегралов, стоящих справа, введем подстановку . откуда или . Таким образом, . Второй интеграл справа является табличным . Итак, , где , две произвольные постоянные суммы неопределенных интегралов объединяют в одну. в) Подстановка: Получим табличный интеграл типа . Возвращаясь к прежней переменной, будем иметь . г) . Найдем его методом интегрирования по частям по формуле . Примем , . В первом из этих двух равенств обе части дифференцируем, чтобы найти , а во втором интегрируем, чтобы найти . Получим , (здесь произвольную постоянную интегрирования принимаем равной нулю, поскольку достаточно хотя бы одного значения ). Применив формулу интегрирования по частям, получим . д) . Это интеграл от рациональной функции. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби по известному правилу, предварительно разложив знаменатель дроби на множители . Тогда , где A, B, M, N – неопределенные коэффициенты, которые надо найти. Приведя обе части последнего равенства к общему знаменателю, найдем . Такое равенство отношений с одинаковыми знаменателями возможны только в случае равенства числителей, то есть . Приравнивая коэффициенты при x в одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений Решение системы: Переходим к интегрированию !! . Приведем две задачи геометрического характера, связанные с вычислениями определенного интеграла.
Задача 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , (рис.2)
рис. 4.
Определенные интегралы вычисляются по ф>рмуле Ньютона-Лейбница . Итак, площадь ОМА равна .
Задача 13. Вычислить объем тела, полученного в результате вращения
вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , , , . (рис. 5).
рис. 5.
Задача 14. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при . Решение. Это уравнение первого порядка является линейным, так как это удовлетворяет общему виду линейных уравнений . Будем искать решение в виде , где , - дифференцируемые функции от . Тогда . Подставляя , в данное уравнение, получим или . Приравняем нулю выражение, стоящее в скобках и получим уравнение с разделяющимися переменными или , или . Интегрируя обе части уравнения, находим или (Здесь полагают произвольную постоянную равной нулю). Откуда . Подставляя его уравнение , придем к его общему уравнению с разделяющимися переменными или , или , или , откуда . А так как решение ищется в виде , то оно будет таким . Это- общее решение, в котором - произвольная постоянная. Решим теперь задачу Коши: из общего решения по заданным начальным условиям определим частное решение. Для этого подставим в общее решение начальные условия. Получим или , или , или , откуда . Подставляя это значение постоянной в общее решение, получим частное решение удовлетворяющее начальным условиям. Задача 15. Найти область сходимости степенного ряда . Решение. Область сходимости называется множество всех точек сходимости данного ряда. Найдем радиус и интервал сходимости. . Где . Радиус сходимости . Тогда интервал сходимости . Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала. 1) Подставим в данный степенной ряд . Получим числовой ряд . Этот ряд является расходящимся, так как не выполняется необходимое условие его сходимости . 2) Подставляя в степенной ряд , получим знакочередующийся числовой ряд , который расходится по той же причине: его общий член при стремится к 1, а не к 0. Итак, область сходимости данного степенного ряда .
|
|||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 269; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.23.123 (0.062 с.) |