Вычисление момента инерции при повороте осей. Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Пусть известны моменты инерции бесконечно малой фигуры dF относительно центральных осей Z,y;

J_z=∫_Fy²dF-момент инерции относительно оси z

J_y=∫_Fz²dF-момент инерции относительно оси y

J_yz=∫_FzydF

Повернем оси у,z на угол α против часовой стрел- ки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Определим моменты инерции сечения относительно повернутых осей z₁,y₁;

J_y1z1=∫Fz₁y₁dF

J_y1=∫_Fz²₁dF

J_z1=∫_Fy²₁dF

Координаты произвольной элементарной площадки в новых осях z₁,y₁ выражаются через координаты z,y прежней системы осей следующим образом;

Z₁=OC+AD=zcosα+ysinα

y₁=CB=BD-EA=ycosα-zsinα

Подставим эти значения в формулы моментов инерции (выше) и проинтегрируем почленно;

J_z1=∫_F(ycosα-zsinα)²dF= =c =cos²α∫_Fy²dF+sin²α∫_FZ²dF- -sin2α∫_FyzdF

J_y1=∫_F(zcosα+ysinα)²dF= =sin²α∫_Fy²dF+cos²α∫_FZ²dF+sin2α∫_FzydF

J_y1z1=∫_F(zcosα+ysinα)(ycosα-zsinα)dF=(cos²α-sin²α) ∫_FzydF+(1/2)sin2α(∫_Fz²dF-∫_Fz²dF)

Окончательно находим;

J_z1=J_zcos²α+J_ysin²α-J_zysin2α

J_y1=J_ycos²α+J_zsin²α-J_zysin2α

J_z1y1=J_zycos2α-(1/2)(J_y-J_z)· ·sin2α

Опр. гл. осей и гл. моментов инерции.

Наибольшее значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю.

J_UV=0

Чтобы определить положение главных центральных осей повернем произвольную начальную систему центральных осей z,y на некоторый угол α₀, при котором центробежный момент инерции становится равным нулю;

J_z1y1=J_VU=0

Тогда из формулы

J_z1y1=J_zycos2α-(1/2)(J_y-J_z)·sin2α

получим

J_z1y1=J_zycos2α₀-(J_y -J_z)2(sin2α₀)

Откуда

tg2α₀=2J_zy/J_y-J_z

Откуда найдем два угла (острый и тупой) отличающиеся на 90 градусов. Откладываем от оси z и получаем положение оси U (ось V перпендикулярна U)Значения главных моментов инерции из формул;

J_z1=J_zcos²α+J_ysin²α- J_zysin2α

J_y1=J_ycos²α+J_zsin²α-J_zysin2α, прехода к повернутым осям, приняв α=α₀

J_z1=J_zcos²α₀+J_ysin²α₀ -J_zysin2α₀

J_y1=J_ycos²α₀+J_zsin²α₀-J_zysin2α₀

Если исключить α₀ из трех уравнений (J_z1,J_y1, J_z1y1), то получим формулу для вычисления моментов инерции относительно главных центральных осей.

J_U=1/2[(J_z+J_y)±√(J_z-J_y)²+4J²_zy]

J_V=1/2[(J_z+J_y)±√(J_z -J_y)²+4J²_zy]

Свойства главных центральных осей;

1)относительно этих осей центробежный момент инерции равен 0

2)относительно V,U моменты инерции имеют экстремальные величины

3)если плоская фигура имеет ось симметрии, то эта ось одна из главных центральны, вторая проходит через центр тяжести фигуры и перпендикулярна первой.

16) Формула Эйлера для определения критической нагрузки сжатого стержня.

Определим величину силы F, при которой форма равновесия становится неустойчивой (минимальную величину силы, при которой становится неустойчивой). Вывод основуется на допущениях:

1) Напряжение в сечениях бруса не превышает предела пропорциональности (напряжение, до которого сохраняется закон Гука), т.е. материал работает в пределах упругости.

2) Деформации бруса равны по сравнению с его размерами, тогда можно применять диф-е ур-е изогнутой оси бруса.

d²W/dx²=M(x)/EI_min; M(x)= –Fx;

d²W/dx²= –FW/EI_min; W″+ +(F/EI_min)W=0; k²=F/EI_min; W(x)= Asinkx + Bcoskx;

1) при x=0:

W(0)=0; A∙0+B∙0=0; B=0.

2) при x=ℓ:

W(ℓ)=0: W(ℓ)=Asinkℓ=0; A≠0; sinkℓ=0; kℓ=πn; k=πn/ℓ. Приравнивая k к k² получаем: n²π²/ℓ² = F/EI_min; F= n²π² EI_min /ℓ²; при n=1→F_min=F_кр

F_кр=π²EI_min/ℓ² – формула Эйлера.

W(x)=Asinkx; W_max при х-?:

W′_x(x)=Akcoskx=0; coskx=0; kx= π/2; x=π/2k; W_max=A∙1=f→A=f.

W(x)=fsinkx – закон изменения деформации стержня по длине бруса. Определим геометрический смысл n.

х (координата)=π/2k ­­– координата max. прогиба.

x=π/2k={k=nπ/ℓ}=πℓ/2nπ=ℓ/2n;

x_max=ℓ/2n.

Для n=1: F_кр=x²EI_min/ℓ²;

Для n=2: F_кр=4π²EI_min/ℓ²;

Для n=3: F_кр=9π²EI_min/ℓ²;

n показывает сколько полуволн укладывается на длине бруса при потере устойчивости под действием F_кр.

I_z=bh³/12; I_y=bh³/12; I_z >> I_y;

I_z – ось наибольшей жесткости. EI_z – жесткость поперечного сечения бруса на изгиб. I_y – ось наименьшей жесткости. Плоскость xOz перпендикулярна оси наименьшей жесткости. При продольном изгибе бруса (потере его устойчивости) изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости. Ось y – нейтральная ось. Если для бруса I_z ≠ I_y, то всегда при потере устойчивости изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости, и в формулу Эйлера подставляем наименьший из моментов инерции. Рациональной формой поперечного сечения для сжатого длинного и тонкого бруса будет та, у которой моменты инерции I_z = I_y (обладающие центральной симметрией и имеющие момент инерции при наименьшей площади).

 

А₁=А₂; I₁>>I₂; 1 рациональней 2.