Элементарная теория оценки ошибок измерений

Методическое пособие

 

для выполнения лабораторных работ по физике

 

часть I

 

 

Ф.И.О. студента___________________________________________

 

№ группы ________________________________________________

 

УКП ____________________________________________________

 

Ф.И.О. ведущего преподавателя _____________________________

_________________________________________________________

 

Лаб. работа №101 РАБОТА ЗАЧТЕНА

 

Лаб. работа №102 РАБОТА ЗАЧТЕНА

 

Лаб. работа №106 РАБОТА ЗАЧТЕНА

 

___________________________

 

Порядок выполнения работ

1. Лабораторные работы предназначены для проверки изучаемых физических законов на практике.

2. Номер работы, которую студент будет выполнять на следующем занятии, назначает преподаватель, проводящий лабораторные работы.

3. Экспериментальные и расчетные данные заносятся в журнал только с разрешения ведущего преподавателя. Все предварительные расчеты выполняются на черновике. Обработка результатов измерений проводится согласно разделу «Элементарная теория оценки ошибок измерения» (cм. ниже).

4. После выполнения работы преподаватель должен поставить отметку в журнале о том, что работа зачтена.

5. Студенты, не сдавшие в срок лабораторные работы, к экзамену не допускаются.

 

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ОЦЕНКИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

Целью каждой лабораторной работы является определение некоторой величины y, для которой приводится функциональное соотношение (формула), выражающая ее через одну или несколько величин

. (1)

Непосредственно в эксперименте измеряется не сама искомая величина у, а только величины x ₁, х ₂,..., х_N, которые в дальнейшем называются измерениями. Для измерения величин используются приборы, реальные измерительные возможности которых ограничиваются рядом объективных причин, кроющихся в физической природе измеряемых физических величин. Так при измерении плотности с высокой точностью проявляются флуктуации числа частиц и массы в единице объема. При измерении тока – числа носителей заряда, при измерении интенсивности света – числа фотонов в световых потоках и многое другое.

Поэтому любую из измеряемых на практике физических величин можно представить в виде , где – некоторое истинное точное значение (которое полагается физически существующим) измеряемой величины, а D х – отклонение от истинного значения, обусловленное неточностями лабораторного эксперимента.

Будем считать, что все отклонения истинного значения в лабораторном эксперименте имеют статистически независимый случайный характер, поэтому при многократных повторениях одного и того же измерения значения отклонения D х будут иметь случайный разброс в разные от нуля стороны. Даже в результате многократных измерений величины х нельзя точно указать истинное значение измеряемой величины, но можно указать интервал ее значений, в котором она находится с вероятностью, близкой к единице. Интервал таких значений обычно представляется в виде ,

чему соответствует форма записи результатов измерений в виде , где x_CP – среднее значение измеряемой величины х. Оно определяется, как среднее арифметическое по всем измерениям: , где х_i – значение величины х в i -том измерении; n – полное количество измерений.

Величина называется средней абсолютной ошибкой измеряемой величины х. Она определяется, как где вертикальными скобками обозначен модуль разности. При записи результата измерений необходимо соблюдать следующие правила:

1) значение абсолютной ошибки необходимо округлить до двух значащих цифр, если первая из них – единица, и до одной – во всех остальных случаях;

2) при записи численного значения величины х_СР необходимо указывать столько же знаков после запятой, сколько использовано для записи . В качестве правильной записи результатов можно привести пример

1) , если , а ;

2) , если , а .

Примеры неправильной записи результата измерений:

1) х = (1.11 ± 0.01) м – нарушено правило 1;

2) х = (1.11 ± 0.013) м – нарушено правило 2;

3) х = (1.11 ± 0.0134) м – нарушено правило 1;

4) х = (1.11 ± 0.023) м – нарушено правило 1.

Класс точности измерений характеризуется как величиной абсолютных ошибок, так и относительных, которые вычисляются по формуле: .

Относительная ошибка во многом более наглядна. Например, измерения размеров дома и земного шара с точностью до одного метра совершенно несоизмеримы по величине относительных ошибок, отличающихся почти в миллион раз.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №101

Проведение эксперимента

а) ускоренное движение

1. Включить тумблер «СЕТЬ».

2. Определить длину участка движения грузов h с помощью линейки 3 по уровню кронштейна 4. Записать h, а также массу цилиндра и перегрузка типа А D М ₁ в табл. 1.

3. Сбросить показания индикатора 10 (нажать кнопку «СБРОС». При этом тормоз будет автоматически включен).

4. Поместить перегрузок типа А D М ₁ на правый цилиндр 6.

5. Поднять правый груз до кронштейна 4 так, чтобы середина цилиндра была на уровне кронштейна.

6. Нажать клавишу "ПУСК".

7. С индикатора 10 снять показание времени t движения грузов на участке h. Занести значение t в табл. 1.

8. Сбросить показания индикатора 10 кнопкой «СБРОС».

9. Эксперимент повторять, начиная с п.2, по три раза каждым из перегрузков типа А (D М ₁, D М ₂ и D М ₃).

Таблица 1.

	h = м; m 0 = кг;
	D М 1 = кг; M = кг	D М 2 = кг; M = кг	D М 3 = кг; M = кг
№	t, с	аЭКС, м/с ^2	аТЕОР, м/с ^2	t, с	аЭКС, м/с ^2	аТЕОР, м/с ^2	t, с	аЭКС, м/с ^2	аТЕОР, м/с ^2
Ср. зн.	^__		^__		^__

И ИМПУЛЬСА НА ПРИМЕРЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО УДАРА ШАРОВ

1. Цель работы: Экспериментальная проверка законов сохранения механической энергии и импульса при центральном ударе шаров; определение коэффициента восстановления; определение величины потери энергии при центральном ударе шаров.

2. Теоретическая часть

Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. Существуют два предельных вида ударов: абсолютно упругий удар и абсолютно неупругий удар, которые в чистом виде для макротел не реализуются.

Абсолютно упругим ударом называется такой удар, при котором механическая энергия не переходит в другие виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела принимают первоначальную форму, отталкиваясь друг от друга. Потенциальная энергия упругой деформации вновь полностью переходит в кинетическую. При абсолютно упругом ударе выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

, (1)

, (2)

где – массы шаров; – скорости шаров до удара; – скорости шаров после удара.

При центральном ударе скорости шаров после удара будут направлены вдоль той же прямой, вдоль которой двигались центры до удара. Решая систему (1, 2), определяем скорости шаров после удара:

, . (3)

Для численных расчетов нужно спроецировать соотношение (3) на ось, вдоль которой движутся шары.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает, и кинетическая энергия полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. После удара тела движутся с одинаковой скоростью либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе не выполняется закон сохранения механической энергии, выполняется только закон сохранения импульса:

. (4)

Отсюда получаем скорость шаров после удара . (5)

При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия частично превращается в другие немеханические виды энергии (например, во внутреннюю энергию, что приводит к нагреванию соударяющихся тел).

Следовательно, потеря кинетической энергии равна разности между начальным и конечным ее значениями. С учетом (5) получим

. (6)

Неупругий удар представляет собой промежуточный случай между абсолютно упругим и абсолютно неупругим ударом.

Потери энергии при неупругом ударе можно определить по формуле ( – величина потери энергии):

. (7)

Мерой неупругости удара служит коэффициент восстановления К, численно равный отношению относительной скорости шаров после удара к относительной скорости до удара . (8)

При абсолютно упругом ударе К = 1, при абсолютно неупругом К = 0.

3. Экспериментальная часть

Порядок выполнения работы

Определение углов отклонения:

1) установить шары массой m ₁ и m ₂ в положение равновесия;

2) нажать кнопку 7 «СЕТЬ». При этом включается электромагнит 2;

3) отклонить шар m ₁ на угол j₁₀ до касания с электромагнитом 2; при этом шар m ₁ зафиксируется в неподвижном положении;

4) нажать кнопку 8 «ПУСК» и зафиксировать угол отклонения j₂ шара m ₂ и угол отклонения j₁ шара m₁ после удара;

5) для выбранного угла j₁₀ провести измерения не менее 7 раз. Результаты измерений углов j₁ и j₂ занести в табл. 1.

Таблица 1.

Массы шаров: m 1 = кг; m 2 = кг
Угол отклонения j10 =; длина нитей l = м.
Измерения								Среднее
j1
j2

Порядок выполнения работы

1. Определение момента инерции и углового ускорения.

1) наматывая нить на шкив, поднять груз на определенную высоту h. Записать высоту поднятия груза h и радиус шкива R в табл. 1;

2) расположить грузы m ₀ на одинаковом расстоянии от оси вращения крестовины (например, на концах осей маятника Обербека);

3) измерить три раза время падения груза с одной массой m. Занести данные в табл. 1;

4) опыт проделать три раза с различными массами груза т. Занести данные в табл. 1.

Таблица 1

h = м, R = м
№ опыта	m, кг	Время падения, с	e ЭКС, рад/с	рад/с^2	JZ ЭКС, кг×м^2	JZ РАС, кг×м^2
t 1	t 2	t 3	t СР

2. Исследование зависимости e и J_Z от расположения масс на крестовине маятника.

Проделать предыдущий опыт для различных положений грузов m ₀ на осях крестовины (размещая грузы симметрично у основания крестовины, в середине и по краям). Массу груза m не изменять. Результаты занести в табл. 2.

Таблица 2

h = м, m = кг, R = м
Положение грузов m 0	Время падения, с	e ЭКС, рад/с	МZ, Нм	JZ ЭКС, кгм^2
t 1	t 2	t 3	t СР
Основание
Середина
Край

Методическое пособие

 

для выполнения лабораторных работ по физике

 

часть I

 

 

Ф.И.О. студента___________________________________________

 

№ группы ________________________________________________

 

УКП ____________________________________________________

 

Ф.И.О. ведущего преподавателя _____________________________

_________________________________________________________

 

Лаб. работа №101 РАБОТА ЗАЧТЕНА

 

Лаб. работа №102 РАБОТА ЗАЧТЕНА

 

Лаб. работа №106 РАБОТА ЗАЧТЕНА

 

___________________________

 

Порядок выполнения работ

1. Лабораторные работы предназначены для проверки изучаемых физических законов на практике.

2. Номер работы, которую студент будет выполнять на следующем занятии, назначает преподаватель, проводящий лабораторные работы.

3. Экспериментальные и расчетные данные заносятся в журнал только с разрешения ведущего преподавателя. Все предварительные расчеты выполняются на черновике. Обработка результатов измерений проводится согласно разделу «Элементарная теория оценки ошибок измерения» (cм. ниже).

4. После выполнения работы преподаватель должен поставить отметку в журнале о том, что работа зачтена.

5. Студенты, не сдавшие в срок лабораторные работы, к экзамену не допускаются.

 

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ОЦЕНКИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ

Целью каждой лабораторной работы является определение некоторой величины y, для которой приводится функциональное соотношение (формула), выражающая ее через одну или несколько величин

. (1)

Непосредственно в эксперименте измеряется не сама искомая величина у, а только величины x ₁, х ₂,..., х_N, которые в дальнейшем называются измерениями. Для измерения величин используются приборы, реальные измерительные возможности которых ограничиваются рядом объективных причин, кроющихся в физической природе измеряемых физических величин. Так при измерении плотности с высокой точностью проявляются флуктуации числа частиц и массы в единице объема. При измерении тока – числа носителей заряда, при измерении интенсивности света – числа фотонов в световых потоках и многое другое.

Поэтому любую из измеряемых на практике физических величин можно представить в виде , где – некоторое истинное точное значение (которое полагается физически существующим) измеряемой величины, а D х – отклонение от истинного значения, обусловленное неточностями лабораторного эксперимента.

Будем считать, что все отклонения истинного значения в лабораторном эксперименте имеют статистически независимый случайный характер, поэтому при многократных повторениях одного и того же измерения значения отклонения D х будут иметь случайный разброс в разные от нуля стороны. Даже в результате многократных измерений величины х нельзя точно указать истинное значение измеряемой величины, но можно указать интервал ее значений, в котором она находится с вероятностью, близкой к единице. Интервал таких значений обычно представляется в виде ,

чему соответствует форма записи результатов измерений в виде , где x_CP – среднее значение измеряемой величины х. Оно определяется, как среднее арифметическое по всем измерениям: , где х_i – значение величины х в i -том измерении; n – полное количество измерений.

Величина называется средней абсолютной ошибкой измеряемой величины х. Она определяется, как где вертикальными скобками обозначен модуль разности. При записи результата измерений необходимо соблюдать следующие правила:

1) значение абсолютной ошибки необходимо округлить до двух значащих цифр, если первая из них – единица, и до одной – во всех остальных случаях;

2) при записи численного значения величины х_СР необходимо указывать столько же знаков после запятой, сколько использовано для записи . В качестве правильной записи результатов можно привести пример

1) , если , а ;

2) , если , а .

Примеры неправильной записи результата измерений:

1) х = (1.11 ± 0.01) м – нарушено правило 1;

2) х = (1.11 ± 0.013) м – нарушено правило 2;

3) х = (1.11 ± 0.0134) м – нарушено правило 1;

4) х = (1.11 ± 0.023) м – нарушено правило 1.

Класс точности измерений характеризуется как величиной абсолютных ошибок, так и относительных, которые вычисляются по формуле: .

Относительная ошибка во многом более наглядна. Например, измерения размеров дома и земного шара с точностью до одного метра совершенно несоизмеримы по величине относительных ошибок, отличающихся почти в миллион раз.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №101