Определение различий законов распределения

 

		0,98	1,02	1,04	1,060
		2,27	0,73	0,55	0,240
		4,78	0,78	0,66	0,125
		7,33	1,33	1,77	0,240
		9,87	2,87	8,24	0,834
		10,42	3,58	12,82	1,230
		7,91	2,09	4,37	0,552
Всего		43,56			4,281

 

Число классов в распределениях до и после объединения равно

Число степеней свободы (первичное и вторичное)

По таблицам [1] находим стандартное значение критерия : 9,5; 13,3; 18,5 при соответственно 0,95; 0,99; 0,999.

Таким образом, при любой ответственности испытаний , то есть различия недостоверны. Можно считать, что эмпирическое распределение не противоречит распределению Вейбулла.

Если проверка дает отрицательный результат, необходимо принять другой вид теоретического закона и повторить процедуру проверки. Если проверки по всем приведенным в настоящих методических указаниях законам (нормальному, Вейбулла и экспоненциальному) не дали положительных результатов, следует на этом ограничиться и сделать заключение о том, что эмпирическое распределение не соответствует ни одному из предложенных теоретических законов.

После этого следует вычислить границы доверительного интервала для математического ожидания ресурса, поскольку его истинное значение заменяем его приближенным значением (средним арифметическим), полученным из опыта (наблюдения).

 

4. Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины

В рассмотренном способе оценки числовых характеристик случайных величин неизвестный параметр определялся одним числом. Такая оценка называется точечной. При оценке надежности машин и оборудования часто требуется не только найти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность и достоверность. Это особенно актуально при небольшом объеме выборки. Необходимо определить, к каким ошибкам может привести замена искомого параметра (например, математического ожидания) его точечной оценкой (средним арифметическим) и с какой степенью уверенности можно ожидать, что ошибки не выйдут за заданные пределы.

В математической статистике для этой цели используют так называемые доверительные интервалы и вероятности.

Пусть для параметра (например,математического ожидания) получена по результатам выборочного обследования точечная оценка этого параметра . Требуется определить ошибку замены параметра его точечной оценкой . Назначим некоторую вероятность и определим такое значение ошибки , для которого

.

Это равенство означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра попадает в интервал

Интервал называется доверительным, а - доверительной вероятностью.

Рассмотрим зависимости, используемые при построении доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Для математического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле

(19)

где коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по таблицам [1] в зависимости от доверительной вероятности и числа степеней свободы или размера выборки

П р и м е р. Определить доверительные интервалы для математического ожидания ресурса по результатам испытаний бензомоторных пил МП-5 “Урал”, если объем выборки , ресурс распределен по нормальному закону с параметрами ;

;

При и коэффициент Стьюдента [1].

Доверительный интервал для математического ожидания ресурса согласно формуле (19)

Таким образом, точное значение ресурса бензомоторных пил МП-5 “Урал“ с вероятностью 0,9 находится в пределах от 228,13 до 495,87 мото-ч.

Если закон распределения случайной величины неизвестен, границы доверительного интервала можно определять по формулам для нормального закона.

 

 

З А Д А Ч И

 

З а д а ч а 1

Рассчитать ВБР сложной системы, имеющей структурную формулу и значение ВБР элементов в соответствии с вариантом задания. Изобразить структурную схему этой системы.

Исходные данные задачи приведены в табл. 8.

Т а б л и ц а 8

Исходные данные к задаче 1

 

Вариант	Структурная формула	Вариант	Структурная формула
	1 – 2/2 - 3/3/3 – 4 - 5/5 – 6		1 - 2 – 3 – 5 – 6/6/6
	1/1 - 2 - 3 - 4 -5/5/5 – 6/6		1 - 2/2/2 – 3 - 4 – 5 - 6/6
	1 - 2/2 - 3 – 4/4 - 5/4 – 6		1 - 2/2 – 3 - 4/4 – 5/5 - 6
	1 - 2/2 - 3 – 4/4 - 5/5 – 6		1/1 - 2/2 - 3/3/3 - 5 – 6
	1/1 – 2 – 3/3 – 4/4 – 5 – 6/6		1 – 2 – 3 – 4/4 – 5 –6/6/6

П р и м е ч а н и е. Для всех вариантов принять следующие значения ВБР:

Под сложной системой понимается объект (узел, агрегат, машина), предназначенный для выполнения определенных функций, и который может быть расчленен на элементы (составные части). Элементом является составная часть системы, неделимая на части (с точки зрения надежности), которая характеризуется самостоятельными входными и выходными параметрами и находится во взаимосвязи с другими элементами системы.

Большинство машин и оборудования, с которыми мы имеем дело, являются сложными системами. В зависимости от способа соединения элементов между собой различают три вида связей: последовательное, параллельное и смешанное (последовательно-параллельное).

При последовательном соединении элементов (рис. 5) отказ любого элемента приводит к отказу системы.

Вероятность безотказной работы такой системы равна произведению вероятностей безотказной работы составляющих ее элементов:

(20)

где - ВБР системы;

- ВБР -го элемента;

- количество последовательно соединенных элементов;

- знак произведения.

 

Рис. 5. Структурная схема системы при последовательном

соединении элементов.

 

Если все элементы системы равнонадежны, т.е. , то

(21)

П р и м е р 1. Если , то

Такая связь не обеспечивает высокой надежности системы. Чем сложнее система (чем больше в ней элементов), тем ниже ее ВБР, так как каждый сомножитель в формуле (20) меньше единицы. При этом надежность системы лимитирует элемент, имеющий самую низкую ВБР. Поэтому для повышения надежности системы при такой связи элементов используют резервирование (смотри ниже).

Последовательное соединение имеет место практически во всех типах приводов машин (станков, стендов, автомобилей, тракторов, грузоподъемных кранов и т.п.), вследствие того, что при этом достигаются наименьшие габариты, масса, стоимость системы и наиболее простая ее конструкция.

При параллельном соединении элементов в системе (рис. 6) ее отказ возможен только после отказа всех элементов. ВБР системы в этом случае определяется по формуле

(22)

где - количество параллельно соединенных элементов.

Если все элементы системы равнонадежны, т.е. , то

(23)

 

 

Рис. 6. Структурная схема системы при параллельном соединении элементов

 

П р и м е р 2. Если то

Такая связь элементов в системе обеспечивает ей высокую надежность, но при этом существенно возрастают габариты, масса и стоимость системы. Поэтому такие системы применяются сравнительно редко: в тех случаях когда требования высокой надежности являются превалирующими (например, в авиации, космонавтике, крупных энергетических установках, АСУП и т.п.).

В обычных машинах (автомобилях, тракторах, кранах, стендах) и установках такие системы используются редко. В качестве примера можно (условно) назвать наличие нескольких тормозных систем и запасных колес на автомобилях, индивидуальных ЗИПов на машинах, запасных частей на складе и т.п.

Смешанным называют такое соединение, когда в системе имеются участки как с параллельной, так и с последовательной связью элементов (рис. 7).

 

 

Рис. 7. Структурная схема системы при смешанном

соединении элементов

 

Чаще всего такие системы образуются из систем с последовательной связью, где наиболее слабые элементы резервируют путем параллельного подсоединения к ним дополнительных элементов, что позволяет повысит надежность системы в целом.

ВБР такой системы рассчитывают в два этапа: сначала определяют ВБР участков с параллельным соединением по формуле (22), а затем - ВБР всей системы, считая ее состоящей из последовательно соединенных элементов. Таким образом, смешанное соединение элементов заменяется последовательным, как показано на рис. 5, где элементы 1 и 2 заменяют собой участки соответственно и на рис. 7.

П р и м е р 3. Определить ВБР системы, структурная схема которой показана на рис. 7.

Такая схема могла бы получиться в результате резервирования наименее надежных элементов- первого и второго.

ВБР системы без резервирования была бы равна

т.е. очень низкой.