Теория проспектов и парадокс Алле

9. Теория проспектов

 

Теория проспектов была разработана для того, чтобы учесть реальные черты человеческого поведения в задачах с субъективными вероятностными оценками. Ставилась цель заменить теорию ожидаемой полезности в качестве средства, позволяющего человеку выбирать предпочтительные варианты действий.

Теория проспектов позволяет учесть три поведенческих эффекта:

1) эффект определенности, т.е. тенденцию придавать больший вес детерминированным исходам;

2) эффект отражения, т.е. тенденцию к изменению предпочтений при переходе от выигрышей к потерям;

3) эффект изоляции, т.е. тенденцию к упрощению выбора путем исключения общих компонентов вариантов решений.

Рассмотрим игру (х, р, у, q), где исход х осуществляется с вероятностью р, исход у — с вероятностью q, а нулевой исход — с вероятностью 1—р—q (рис. 2.10). В теории проспектов игра, представленная на рисунке, называется проспектом. Оценивается ценность (а не ожидаемая полезность) этой игры по следующей формуле:

V=V(x) Ä П(р) + V(у) Ä П(q),

где V(x), V(y) - ценность исходов х, у соответственно, V(0) = 0 и П(р), П(q) — вес (важность) вероятностей р, q соответственно.

 

 

Рис. 2.10. Представление проспекта

 

Мы видим первое отличие теории проспектов: вместо вероятностей используется функция от вероятностей.

Проанализируем другие отличия теории проспектов от теории полезности. Во-первых, полезность в теории полезности определялась как прибавление (может быть, и отрицательное) к первоначальному благосостоянию человека. Ценность же отсчитывается от любого уровня, принятого за исходный. Во-вторых, предполагается (для учета поведенческих аспектов), что функция V(x) ценности — выпуклая для выигрышей и вогнутая для потерь (рис. 2.11), причем ее изменение для потерь будет больше, чем для выигрышей.

 

             

 

Рис. 2.11. Функция ценности

 

Важное различие двух теорий состоит в учете вероятностей исходов. Если в теории полезности вероятность умножается на полезность исхода, то в теории проспектов используется функция вероятности П(р), представленная на рис. 2.12. Эта функция также построена специальным образом для учета поведенческих аспектов. Прежде всего П(р) не подчиняется всем законам теории вероятностей. Отметим следующие свойства П(р):

1) П(0) = 0, П(1) = 1;

2) П(р) + П(1-р) < 1;

3) при малых вероятностях П(р) > р;

4) отношение II(p)/П(q) ближе к единице при малых вероятностях, чем при больших;

5) П(р) плохо определена у крайних значений.

 

 

Рис. 2.12. Весовая функция вероятности

 

Теперь мы можем привести последовательность этапов, рекомендуемую при применении теории проспектов для выбора между различными вариантами действий.

1. Осуществляется редактирование проспекта; этап определен достаточно неформально. В него входит следующее:

• выбирается опорная точка;

•  одинаковые исходы объединяются, и их вероятности суммируются;

•  одинаковые исходы с равными вероятностями в сравниваемых играх удаляются;

•  доминируемые исходы удаляются;

• округляются значения ценностей и вероятностей.

2. Подсчитываются значения ценности для разных вариантов действий по формуле, приведенной выше, после чего выбирается вариант с наибольшей ценностью.

 

Применим теорию проспектов для анализа парадокса Алле (см. рис.2.6). Из левой лотереи следует

U > 1 Ä П(0,1) + U Ä П(0.89) или

         

                       

 

Из правой лотереи следует

П(0,1) > U Ä П(0,11) или

 

    

 

Нетрудно убедиться, что из перечисленных выше пяти свойств функции П(р) вытекает возможность выполнения неравенств

 

                       

 

так как 1-П(0,89) > П(0,11) и 1 > П(0,11) + П(0,89). Следовательно, теория проспектов позволяет избежать парадокса Алле.