Додаток А – Моменти опору перерізів зі шпоночним пазом

Вихідні дані

;  ; 

6 Динамічний розрахунок балки,

стержня або вала

 

Задається матеріал конструкції, схема і навантаження, треба виконати розрахунок в такій послідовності:

6.1 Для схем № 1-3, 7-9, 17-24 (рис. 6.1, табл. 6.1)

Таблиця 6.1

№

0,3

0,2

0,2

1,4

1,5

0,4

0,3

0,1

1,5

1,5

1,5

0,25

0,4

0,15

2,5

1,6

2,5

0,3

0,2

0,2

1,7

2,5

0,2

0,3

0,3

1,5

1,5

1,5

0,3

0,2

0,3

2,5

1,2

1,5

1,9

0,4

0,4

0,4

2,4

1,4

1,6

0,2

0,3

0,2

1,5

1,2

2,8

0,4

0,2

0,3

1,5

1,6

1,8

0,3

0,4

0,25

1,2

1,8

 кг,  кН,  кН·м,       кг·м², ,  м,        МПа;  МПа,

1. Скласти канонічне рівняння максимальних сил (моментів) інерції

                              (6.1)

де  – амплітуди сил (моментів) інерції, , (для схем №21-24 ).

2. Знайти переміщення  і .

3. Скласти характеристичне рівняння частот

                                        (6.2)

4. Розв’язавши це рівняння, знайти величину , для схем № 17-20 величину , для схем № 21-24: .

Розв’язати канонічні рівняння (1) і побудувати динамічну епюру моментів (для схем № 13-17 динамічну епюру поздовжніх сил, для схем № 21-24 динамічну епюру крутних моментів).

Рисунок 6.1

Продовження рис. 6.1

5. Побудувати статичну і сумарну епюру моментів (поздовжніх сил) , при цьому знак слід вибрати так, щоб в небезпечному перерізі були напруження у обох епюр одного знаку (в схемах № 21-24 статичну епюру будувати не треба).

6. Визначити розміри поперечного перерізу з розрахунку на міцність

Для схем № 17-20

Для схем № 21-23

7. Обчислити першу і другу власні частоти коливань.

Для схем № 4-6, 10-16 треба:

1. Скласти систему канонічних рівнянь максимальних сил (моментів) інерції

                             (6.3)

де  – реакції відкинутого зв’язку в статично-визначеній системі.

2. Знайти переміщення  і .

3. Скласти і розв’язати характеристичне рівняння частот

                                         (6.4)

4. Розкрити статичну невизначеність і побудувати статичну епюру моментів.

5. Розв’язати систему канонічних рівнянь (4) і побудувати динамічну епюру моментів (сил).

6. Побудувати сумарну епюру моментів (сил).

7. Визначити розміри поперечного перерізу з розрахунку на міцність.

8. Знайти власну частоту коливань.

 

 

Приклад.Дано ;  кг, м, кН,  МПа, МПа, (рис. 6.2). Підібрати двотавровий переріз.

Рисунок 6.2

1. Показуємо розрахункову схему (р. с.)

2. Будуємо епюри ,  і .

3. Визначаємо коефіцієнти системи канонічних рівнянь за способом Верещагіна.

;

;

;

;

.

4. Характеристичне рівняння частот має вид

;

або

Позначимо , тоді

.                                                                 (6.5)

Розв’язуючи це рівняння, одержуємо два корені . При цьому меншому значенні власної частоти  відповідає більший корінь .

5. Записуємо систему канонічних рівнянь

                        (6.6)

Систему (6.6) доцільно записати у вигляді

                    (6.7)

Розв’язок (6.7) має вид ; .

6. Будуємо допоміжні епюри ,  і далі динамічну епюру

.

Пунктиром показана епюра  при дії сили  в протилежному напрямку.

7. Будуємо епюру  від дії зусиль  і  прикладених статично.

8. Будуємо сумарну епюру моментів .

На рис. 6.2 показаний тільки один варіант , при якому  кН×м.

9. Підбираємо двотавровий переріз з умови міцності.

,

звідси

 см³.

З таблиць сортаменту вибираємо двотавр № 10, для якого  см³;  см⁴.

10. Власні частоти коливань визначаємо з співвідношень

; .

Підставляючи числові значення, одержуємо  (с^-1);  (с^-1).

Приклад 2.Для заданої балки (рис. 6.3) розкрити статичну невизначеність і знайти частоту власних коливань, якщо  кг,  кН,  м,  кН×м²;   .

 

Рисунок 6.3

2. Розрахунок балки проводиться аналогічно прикладу 1. Відміна лише у тому, що задана балка має лише у тому, що задана балка має лише одну ступінь вільності, але в той же час вона один раз статично невизначеною. Таким чином, система має дві невідомі: силу інерції в напрямку коливання маси і реакцію зайвого зв’язку. Тому рівняння частот буде другого порядку, але інерційні сили будуть враховуватись лише вздовж напрямку коливання маси, тобто тільки у коефіцієнті

звідки

                        (6.8)

На рис. 6.3 показуємо основну і еквівалентні системи, одиничні епюри моментів від сил ,  і епюру моментів .

Далі визначаємо коефіцієнти канонічних рівнянь за способом Верещагіна.

; ; ;

; .                    (6.9)

Підставляючи (6.9) в (6.8), одержуємо  (с¹),

Система канонічних рівнянь має вид

                     (6.10)

Підставимо (6.9) в (6.10), одержимо

або

Підставляючи числові значення, маємо

                       (6.11)

звідки

 кН;  кН×м.

При розрахунку на міцність будуються епюри

і далі розрахунок проводиться аналогічно прикладу 1.

6.3 На стальну балку двотаврового перерізу встановлений двигун вагою  (рис. 6.4), який робить  обертів за хвилину. Відцентрова сила інерції, що виникає внаслідок незрівноваження рухомих мас двигуна дорівнює .

Власною вагою балки і силою опору балки знехтувати. Дані взяти з табл. 6.2.

Таблиця 6.2

№ рядка

№ двотавра

, м

, кН

, кН

 хв^-1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

 

Рисунок 6.4

Потрібно:

1) Побудувати епюру згинаючих моментів від ваги двигуна ;

2) Побудувати епюру згинаючих моментів від одиничної сили, прикладеної в тому перерізі, де знаходиться двигун;

3) визначити за способом Верещагіна статичне переміщення  перерізу балки, де знаходиться двигун;

4) визначити частоту власних коливань балки  і частоту зміни збуджуючої сили .

;     .

5) визначити коефіцієнт зростання коливань  і коефіцієнт динамічності

; ,

6) Визначити максимальне нормальне статичне  і динамічне  напруження

.

Приклад 3. Виконати розрахунок для балки (рис. 6.5), якщо кН; м;  м; двотавр №16, МПа; хв^-1.

Рисунок 6.5

1. Будуємо епюри згинаючих моментів  і  від сили  і , (рис. 6..5).

2. За способом Верещагіна визначаємо

Геометричні характеристики двотавра

 см⁴;              см³;

 М.

3. Визначимо частоту власних коливань балки  і частоту зміни збурючої сили

 с^-1;

с^-1.

4. Визначаємо коефіцієнт зростання коливань  і коефіцієнт динамічності

;

.

5. Визначаємо максимальне нормальне статичне і динамічне напруження

 МПа;

 МПа.

,мм

,мм

,см³

, см³

,мм

,мм

,см³

,см³

 

0,655

1,440

 

27,5

58,4

 

0,770

1,680

 

30,2

63,8

6´6

0,897

1,940

20´12

33,0

69,7

 

1,038

2,23

 

37,6

79,0

 

1,192

2,55

 

42,6

89,2

 

1,275

2,81

 

44,7

95,0

8´7

1,453

3,18

 

48,4

102,5

 

2,320

4,97

24´14

54,3

114,6

 

2,73

5,94

 

60,6

127,5

10´8

3,33

7,19

 

65,1

135,7

 

3,66

7,87

 

67,9

144,3

 

4,01

8,59

 

75,3

159,4

 

4,27

9,24

28´16

83,1

175,5

12´8

4,86

10,04

 

88,7

186,9

 

5,51

11,79

 

103,7

217,0

 

6,45

13,72

 

117,4

 

7,25

15,61

32´18

135,2

 

7,80

16,74

 

154,8

14´9

8,38

17,93

 

172,7

 

8,98

19,17

 

195,8

 

9,62

20,5

36´20

 

10,65

22,9

 

16´10

12,10

25,9

 

 

14,51

30,8

 

 

16,81

36,0

40´22

18´11

18,76

40,0

 

20,9

44,3

 

 

24,3

51,2

 

 

Додаток Б – Ефективні коефіцієнти концентрації

                 напружень в місті шпоночного пазу

Коефіцієнти

Границя міцності , МПа

1,6

1,75

1,9

2,0

2,3

1,4

1,5

1,7

1,9

2,2

Додаток В – Ефективні коефіцієнти концентрації

                  напружень для шліцевих валів

Коефі-
цієнти

Границя міцності , МПа

1,35

1,45

1,55

1,6

1,65

1,70

1,72

1,75

2,10

2,25

2,36

2,45

2,55

2,65

2,70

2,80