Розрахунок стояка на стійкість

5 РОЗРАХУНОК СТОЯКА НА СТІЙКІСТЬ

Стояк довжиною  стискається силою  (рис. 5.1 або 5.2). Для того, щоб зробити розрахунок стояка на стійкість, необхідно мати такі дані:

довжину стояка , умови закріплення стояка, форму перерізу (рис. 5.3) і матеріал стояка.

Потрібно:

1. Визначити коефіцієнти приведеної довжини для стояка в 2 проекціях;

2. Визначити розміри поперечного перерізу, якщо відома  (розрахунок проводити методом послідовних наближень; попередньо взявши коефіцієнт ).

3. Визначити критичну силу  залежно від гнучкості стояка.

4. Визначити дійсний коефіцієнт запасу стійкості. Дані взяти з таблиці 5.1.

Таблиця 5.1       

№ рядка

, м

, кН

, МПа

2,0

0,3

2,5

0,4

3,0

0,2

3,5

0,1

4,0

0,3

4,5

0,4

5,0

0,2

5,5

0,1

6,0

0,3

6,5

0,4

Приклад

Дано: Стояк стискається силою  кН. Матеріал – сталь марки Ст. 3. Поперечний переріз і умови закріплення стояка показано на рисунку 5.4.

Па; ; м;  кН; МПа;

Розв’язок

1. Для стояка з проміжною опорою запишемо всі нульові граничні умови:

; ;

; .

Рисунок 5.1

 

 

Рисунок 5.2

 

Рисунок 5.3

Рисунок 5.4

 

Оскільки нульових умов п’ять, то вибираємо апроксимуючу функцію у вигляді полінома 5-го ступеня, в який входять 6 невідомих коефіцієнтів. Тому за додаткову ненульову умову приймаємо першу від початку координат ненульову геометричну умову .

;

;

;

В деяких задачах іноді потрібно записати вираз і для третьої похідної:

З граничних умов визначаємо коефіцієнти :

; Þ ;

; Þ ;

; ;

; ;

; ;

; .

Розв’язуємо систему 4-х рівнянь з 4 невідомими методом Гауса

;    ;    ;

;         ; .

 

Апроксимуюча функція має вигляд:

;

;

.

2. Визначимо інтервали

;

.

3. Визначимо коефіцієнт приведеної довжини

.

Для заданого стояка в другій проекції (без проміжної епюри) коефіцієнт

4. Визначимо розміри поперечного перерізу стояка

;

звідки .

Моменти інерції відносно головних осей інерції (в даному випадку – відносно осей симетрії).

;

Визначимо радіуси інерції

;

.

Визначимо гнучкості для І розташування

 

;

.

Визначимо гнучкості для ІІ розташування

;

;

де , а .

Аналізуючи гнучкості І і ІІ розташування, ми бачимо, що І розташування буде більш раціональним, тому що

;

.

Тому надалі розрахунок будемо вести для І розташування по більшій гнучкості, тобто відносно осі : .

І наближення: завжди за  приймаємо .

м²;

гнучкість стояка .

За даною гнучкістю визначимо коефіцієнт .

Таблиця коефіцієнтів  закінчується при , але виявляючи закономірність зменшення коефіцієнта  із збільшенням гнучкості, ми можемо уявно продовжити таблицю і прийняти для гнучкості .

При гнучкості більших за 300, можна приймати .

Оскільки , то переходимо до ІІ наближення.

м²

при ;

;

Оскільки , то переходимо до ІІІ наближення.

;

 м²;

при ;

;

,

IV наближення

;

 м²;

при ;

;

,

Визначимо критичну силу користуючись однією з 3-х формул в залежності від гнучкості.

Визначимо коефіцієнт  і  за формулою

.

(МПа);

(МПа).

Н = 257,7 кН.

Визначимо коефіцієнт запасу стійкості:

.

Для перевірки розрахунків обчислення коефіцієнтів і відповідно вибору апроксимуючої функції можна використати програму “STOIKA”.

,

^‘Прізвище _ група _ варіант’

де – max показник степеня рівняння

– max показник степеня рівняння

 – коефіцієнт рівняння .

 – коефіцієнт рівняння .

Для приведеного вище прикладу ввід вхідних даних виглядає так:

,

‘Петренко _ ТМ-99-1 ­_ 0 _ 0 _ 1’

4 _ 0 _ 0,6569 ­_ -3,1407 _ 4,375 _ -1,875

3 ­_ 0,6563 _ -6,2814 _ 13,125 _ -7,5