e1,e2,e3-единичные, e1*e1=e2*e2=e3*e3=1

в) Выразите элементы длин дуг соответствующих координатных линий, элементы площадей координатных поверхностей и элемент объема при помощи коэффициентов Ламе.

г) Запишите основные дифференциальные операции в криволинейных координатах.

2.  Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом функции Грина. (35 баллов)

а) Что такое дифференциальное уравнение в частных производных?

Дифференциальное уравнение в частных производных— дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные.

б) В чем заключается метод функции Грина?

Фу́нкция Гри́на используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородной краевой задачи). Они помогают находить стационарные и нестационарные решения, в том числе при разнообразных граничных условиях.

в) Приведите пример.

Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости (x,y) : x,y≥0 L- оператор Лапласа. Также предположим, что при х=0 наложены краевые условия Дирихле, при у=0 краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид

 

11)1. Цилиндрическая система координат. (35 баллов)

а) Назовите цилиндрические координаты. Покажите связь цилиндрических и декартовых координат.

(1)Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты(обычно обозначаемой z) которая задаёт высоту точку над плоскостью. Цилиндрические координаты точки состоит из упорядоченной тройкой ( ) а также (x,y,z). Орты цилиндрической системы координат связаны с декартовыми ортами следующими соотношениями: , и образует правую тройку: , обратные соотношения имеют вид  , закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:  , закон преобразования координат от декартовым к цилиндрических:

 Якобиан равен: J=

б) Назовите координатные поверхности и координатные линии в цилиндрической системе координат.

Координатными поверхностями в цил.сис.коордат явл.: =const-цилиндры с осью 0z; =const-полуплоскости, ограниченные осью 0z; =const-плоскости,  к осью 0z. Коэф-ты Ламе в цил.сис.коордат имеют вид: ; ; . Их элементы: , , ; = , , , Пересечение двух коорд. поверхностей явл. коорд. линиями.

в) Определите коэффициенты Ламе в цилиндрической системе координат и выразите элементы длин дуг соответствующих координатных линий, элементы площадей координатных поверхностей и элемент объема при помощи этих коэффициентов Ламе.

г) Запишите основные дифференциальные операции в цилиндрических координатах.

2.  Определите потенциал электростатического поля методом функции Грина.

(35 баллов)

а) Запишите уравнение Пуассона для потенциала электростатического поля.

Уравнение Пуассона для потенциала электростатического поля: ; ;

б) Сформулируйте граничное условие для данной задачи.

в) Примените метод функции Грина для определения потенциала электростатического поля.

12)

1. Сферическая система координат. (35 баллов)

а) Назовите сферические координаты. Покажите связь сферических и декартовых координат.

Сферическими координатами наз. систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат-( ). Связь между декартовыми и сферическими координатами описывается формулами--- ; ; ; ; ; .

б) Назовите координатные поверхности и координатные линии в сферической системе координат.

Координатные поверхности в сферической системе координат являются:r=const-сферы с центрами в точке 0; -конусы с осью Oz; -полуплоскости, ограниченные осью Oz. Координатными линиями будут: (r)=лучи, выходящие из центра 0; линии( )-окружности с центрами в точке 0 и радиусами r, пересекающие ось Oz;

в) Определите коэффициенты Ламе в сферической системе координат и выразите элементы длин дуг соответствующих координатных линий, элементы площадей координатных поверхностей и элемент объема при помощи этих коэффициентов Ламе.

Линии ( )-окружности с центрами на оси Oz и радиусами MM3= . Коэффициенты Ламе в сферической системе координат ; ; . Элементы: ; ; ; = ; ; ; .

 

г) Запишите основные дифференциальные операции в сферических координатах.

2.  Уравнения гиперболического типа и метод их решения. (35 баллов)