Парабола (каноническое уравнение)

31. Парабола (каноническое уравнение)

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

1) А=0, В≠0 – парабола (ось симметрии || Ох)

(у – у₀)² = а (х – х₀)

(x₀;y₀) – вершина

Ось симметрии || Ох

Если а>0 – ветви вправо

Если а<0 – ветви влево

2) В=0, А≠0 – парабола (ось симметрии ||Оу)

(х – х₀)² = а (у – у₀)

(x₀;y₀) – вершина

Ось симметрии ||Оу

Если а>0 – ветви вверх

Если а<0 – ветви вниз

 

32. Гипербола (каноническое уравнение)

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

А≠В, разные знаки - гипербола

                                         (ветви влево и вправо)

 

 (ветви вверх и вниз)

 

(x₀;y₀) – центр

а и b – полуоси

 

33. Исследование квадратичной функции

Функция, заданная формулой y = ax² + bx + c , где x и y - переменные, а a, b, c - заданные числа, причем а≠0 , называетсяквадратичной функцией.

Рассмотрим уравнение у = ах². Это уравнение преобразуется к каноническому виду х² = 2ру, где 2р = 1/а. Следовательно, уравнение у = ах² определяет параболу с вершиной в начале координат, у которой ось симметрии является ось ординат. При а>0 – ветви вверх, при а<0 – вниз.

Рассмотри уравнение у = а(х – α)² + β. Сделаем следующие преобразования координат: х’=x-α; y’=y-β. Это есть преобразование параллельного переноса координатных осей. Уравнение у = а(х – α)² + β приводится к виду y’ = a(x’)², т.е. в новой системе координат O’x’y’ оно имеет вид у = ах² и, следовательно, в этой системе задаёт параболу с вершиной в точке O’, симметричную относительно оси O’y’.

Т.о., уравнение у = а(х – α)² + β задаёт эту же параболу в системе Оху. Относительно этой системы координат её вершина находится в точке O’(α,β). Ось симметрии || оси Оу и имеет уравнение х=а. Параметр а снова определяет направление ветвей параболы.