Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Применяем интегрирование по частям вместе ⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6
Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям: . Решение. В подынтегральном выражении - логарифм, который, как мы уже знаем, разумно обозначить через u. Полагаем, что . Тогда . Находим (как уже говорилось в пояснении к теоретической справке, сразу же получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) - функцию, не содержащую логарифма): И снова логарифм... Пример 2. Найти неопределённый интеграл: . Решение. Пусть . Логарифм присутствует в квадрате. Это значит, что его нужно дифференцировать как сложную функцию. Находим, Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: Второй интеграл вновь находим по частям и получаем уже упомянутое преимущество (в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) - функцию, не содержащую логарифма). Находим изначальный интеграл: Пример 3. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям: . Решение. Арктангенс, как и логарифм, лучше обозначить через u. Итак, пусть , . Тогда , Применяя формулу интегрирования по частям, получаем: Второй интеграл находим методом замены переменной. Возвращаясь к переменной x, получаем . Находим изначальный интеграл: . Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям: находим Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям: . Решение. Пусть . Тогда . Используя формулу интегрирования по частям (1), находим: Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям: . Решение. Синус, как и экспоненту, удобно обозначить через dv. Пусть . Тогда . По формуле интегрирования по частям находим: Пример 7. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям: . Решение. Косинус, как и синус и экспоненту, удобно обозначить через dv. Итак, , . Тогда . По формуле интегрирования по частям находим: Ко второму слагаемому вновь применяем интегрирование по частям. Обозначаем . Тогда . Интегрируя далее, находим: Пример 8. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
. Решение. Логарифм удобно обозначить через u. Итак, . Тогда ,. По формуле интегрирования по частям находим: Пример 9. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям: . Решение. Обозначаем . Тогда . По формуле интегрирования по частям находим: Ко второму слагаемому также применяем интегрирование по частям. Обозначаем . Тогда . Далее интегрируем: Теперь из полученного уравнения выразим требуемый интеграл : и окончательно находим: . Пример 10. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям: . Решение. Как и во всех подобных случаях, косинус удобно обозначить через dv. Обозначаем . Тогда . По формуле интегрирования по частям получаем: Ко второму слагаемому также применяем интегрирование по частям. Обозначаем . Тогда . Применив эти обозначения, интегрируем упомянутое слагаемое: Теперь находим требуемый интеграл: Среди интегралов, которые можно решить методом интегрирования по частям, есть и такие, которые не входят ни в одну из трёх упомянутых в теоретической части групп, относительно которых из практики известно, что лучше обозначать через u, а что через dv. Поэтому в этих случаях нужно пользоваться соображением удобства, также приведённым в параграфе "Суть метода интегрирования по частям": за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv - такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется. Последний пример этого урока - решение именно такого интеграла. Пример 11. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям: . Решение. Примем как руководство к действию общее соображение относительно обозначений. Обозначаем . Тогда . По формуле интегрирования по частям получаем:
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2022-01-22; просмотров: 49; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.221.234.18 (0.013 с.) |