Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Суть метода замены переменной
Во многих случаях подынтегральное выражение не позволяет сразу же найти интеграл по таблице. Тогда введение новой переменной интегрирования помогает свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Вводится новая переменная, назовём её t. Например,
Далее dx определеяем как дифференциал по переменной t. После этого интеграл можно найти по таблице интегралов. Заменив обратно t на функцию от x, находим данный интеграл окончательно. Прежде чем перейти к подробным решениям примеров, следует привести теорему, в которой обобщаются перечисленные выше действия. Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f (x). Тогда, если на множестве Х функция f (x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула (1) Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле. Метод замены переменной обычно применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой независимую переменную, умноженную на многочлен от этой переменной, или на тригонометрическую функцию от этой переменной или на степенную функцию (в том числе корень) от этой переменной. Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной: Решение. Производим замену x − 1 = t; тогда x = t + 1. Отсюда dx = dt. По формуле (1) Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем Пример 2. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной: . Решение. Положим . Отсюда . Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем Если трудно уследить, куда в процессе решения примера 2 делись и , это признак того, что нужно повторить действия со степенями из элементарной (школьной) математики. Пример 3. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной: . Решение. Положим , откуда и . Тогда , в свою очередь . Заменяем переменную и получаем: , где степени при t складываются. Продолжаем преобразования и получаем:
Приводим дроби к общему знаменателю и возвращаемся к переменной x. Решаем и получаем ответ: Применить замену переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной: Решение. Сделаем подстановку , тогда Заменяем переменную и получаем: Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной: . Решение. Полагаем , тогда Заменяем переменную и получаем: Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной: . Решение. Полагаем , тогда Заменяем переменную и получаем: Пример 7. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной: . Решение. Положим , откуда .
Тогда Заменяем переменную и получаем: . Возвращаясь к переменной х, получаем ответ: . Пример 8. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной: . Решение. Положим , откуда . Заменяем переменную и получаем: Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ: Пример 9. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной: . Решение. Положим , тогда Заменяем переменную и получаем: Решение с переменной t получено с использованием формулы 21 из таблицы интегралов. Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2022-01-22; просмотров: 52; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.225.8.35 (0.01 с.) |