Алгоритм решения простейшей задачи вариационного исчисления

1. Записать необходимое условие экстремума – уравнение Эйлера:

2. Найти общее решение уравнения Эйлера  .

3. Найти допустимые экстремали, т.е. решения уравнения Эйлера, удовлетворяющие заданным краевым условиям .

4. Доказать, что решением является одна из допустимых экстремалей, или показать, что решения нет.

Пример 1 .          

1. Уравнение Эйлера:  или
2. Общее решение: .
3.  Таким образом, имеется единственная допустимая экстремаль .
4. Покажем, что эта экстремаль доставляет глобальный минимум в данной задаче. Действительно, возьмем произвольную допустимую в этой задаче функцию . В таком случае  

Обозначим  Тогда .

       

   Следовательно, функция   является глобальным минимумом.

Замечание 4. Аналогичным образом можно сформулировать  алгоритм решения простейшей векторной задачи классического вариационного исчисления. Пусть в задаче (1) , - функция  переменных. Необходимые условия в простейшей векторной задаче состоят из системы уравнений Эйлера .

Частные случаи уравнения Эйлера

Если функция F (t,x, ) не зависит явно от одной из своих переменных, то уравнение Эйлера допускает понижение порядка, то есть сводится к более простому уравнению.

I. Если функция F (t,x, ) не зависит явно от x, то уравнение Эйлера сводится к уравнению:

                                           (3)

Пример 2.           

  Подынтегральная функция не зависит явно от x, поэтому уравнение Эйлера имеет вид: .

1. Общее решение: .

2. Экстремали, удовлетворяющей краевому условию , не существует

3. Данная задача не имеет решения.

II.   Если функция F (t,x, ) не зависит явно от t, то уравнение Эйлера можно переписать в виде  

                                           (4)

Пример 3.           

1. Подынтегральная функция не зависит явно от t, поэтому уравнение Эйлера можно записать в виде: , или .

2. Общее решение: .

3. Единственная допустимая экстремаль .

4. Покажем, что эта экстремаль не доставляет минимума в данной задаче. Рассмотрим последовательность функций . Очевидно, что допустимые функции и  в , но при этом .

Из этого примера видно, что уравнение Эйлера – необходимое, но не достаточное условие экстремума.

 

Задача Больца

Определение 5. Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в

 ,               (5)

где - функция, дифференцируемая по каждой из двух своих переменных.

Определение 6. Функция  называется слабым локальным минимумом (максимумом) задачи (5), если существует  такое, что для любой другой функции  для которой , выполняется неравенство .

Теорема 2. (Необходимые условия экстремума).

Если функция   доставляет слабый локальный экстремум в задаче (5), то для этой функции  и   выполнены:

a) уравнение Эйлера: ;

     b) условия трансверсальности:

                          (6)

Определение 7. Решения уравнения Эйлера, удовлетворяющие условиям трансверсальности, называют допустимыми экстремалями задачи (5).