При первом способе производства предприятие выпускает за 1 месяц – 3 тыс. изделий, при втором – 4 тыс. изделий.
Сколько месяцев должно работать предприятие каждым из этих способов, чтобы при наличных ресурсах обеспечить максимальный выпуск продукции?
Решение: Пусть 
- время работы предприятия 1-м способом, 
- вторым способом.
Математическая модель задачи имеет вид:
max, при ограничениях:
Приведем задачу к каноническому виду:
max, при ограничениях:
Решение:
1) Составляем симплекс – таблицу 1-го шага:
| Базис | Свободные члены |
|
|   
| 
| 
|
|
| 4 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 |
|
| 3 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
|
| 8 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| f | 0 | -3 | -4 | 0 | 0 | 0 |
Решение (0;0;4;3;8), L(x) = 0
Видим, что в последней строке таблицы есть отрицательные числа - переходим к пункту 2.
2)Выбираем столбец, содержащий максимальное положительное число – 4 и отмечаем его. Переходим к пункту 3.
3)Делим, свободные члены на соответствующие положительные числа из выделенного столбца и выбираем наименьшее частное:
min 
=(4;3;2)=2
Отмечаем строку таблицы, которая соответствует наименьшему частному. Выделяем разрешающий элемент равный 2.
4) Делим элементы выделенной строки на этот элемент и начинаем заполнять новую таблицу.
| Базис | Свободные члены |
|
|
|
|
|
| 2 | 1/2 | 1 | 1/2 | 0 | 0 |
|
| 1 | 1/2 | 0 | -1/2 | 1 | 0 |
|
| 6 | 3/2 | 0 | -1/2 | 0 | 1 |
| f | 8 | -1 | 0 | 2 | 0 | 0 |
Переходим снова к шагу 1.
| Базис | Свободные члены |
|
|
|
|
|
|
| 1 | 0 | 1 | 1 | -1 | 0 |
|
| 2 | 1 | 0 | -1 | 2 | 0 |
|
| 3 | 0 | 0 | 1 | -3 | 1 |
| f | 10 | 0 | 0 | 1 | 2 | 0 |
min 
=(4;3;2)=2
Все коэффициенты в строке f положительные, значит оптимальное решение получено. X опт = (2;1;0;0;3), f= 3*2+4=10. Таким образом, по 1-ому способу предприятие должно работать 2 месяца, по 2-ому – 1 месяц, при этом максимальный выпуск продукции составит 10 тыс. рублей.
Приложение 1
Контрольные задания по теме
«Графический метод»
|
|
1. На некотором предприятии могут выпускать изделия двух видов (например, мотоциклы и велосипеды). В силу ограниченности возможностей сборочного цеха в нем могут собирать за день 25 мотоциклов (если не собирать вообще велосипеды) или 100 велосипедов (если не собирать вообще мотоциклов), либо какую-то комбинацию тех и других, определяемую приемлемыми трудозатратами. Склад может принять не более 70 изделий любого вида в сутки. Известно, что мотоцикл стоит в 2 раза дороже велосипеда. Требуется найти такой план выпуска продукции, который обеспечил бы предприятию наибольшую выручку.
2. В суточный рацион включают 2 продукта питания П1 и П2, причем продуктаП1 должно войти в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость 1 ед. продукта П1составляет 2у.е., продукта П2 – 4р. Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в таблице. Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей. Решить задачу графическим методом.
| Питательные вещества | Минимальная норма потребления | Содержание питательных веществ в 1ед. продукта | |
| П1 | П2 | ||
| А | 120 | 0,2 | 0,2 |
| В | 160 | 0,4 | 0,2 |
3. Для производства 2 изделий А и В используются 3 вида сырья. Каждый из них используется в объеме, не превышающем 180, 150 и 630 килограмм соответственно. Нормы затрат каждого из видов сырья на 1 изделие и цена единицы изделий приведены в таблице. Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимального дохода.
| Вид сырья | Нормы затрат сырья на одно изделие, кг | |
| А | В | |
| I | 3 | 2 |
| II | 3 | 1 |
| II | 7 | 9 |
| Цена изделия в у.е | 10 | 14 |
4. Фирма выпускает изделия двух типов: А и В. При этом используется сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции и запасы сырья заданы в таблице:
|
Изделия |
Сырье | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| А | 2 | 1 | 0 | 2 |
| В | 3 | 0 | 1 | 1 |
Запасы сырья 1-го вида составляют 21 ед., 2-го вида – 4 ед., 3-го вида - 6 ед., 4-го вида – 10 ед. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 300 руб., одного изделия типа В – 200 руб. Составить план производства, обеспечивающей фирме наибольший доход.
5. Обработка деталей А и В может производиться на трех станках, причем каждая деталь должна последовательно обрабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации детали А – 100р., детали В – 160 р. Исходные данные приведены в таблице:
|
|
| Станки | Норма времени на обработку одной детали, ч | Время работы станка, ч | |
| А | В | ||
| 1 | 0,2 | 0,1 | 100 |
| 2 | 0,2 | 0,5 | 180 |
| 3 | 0,1 | 0,2 | 100 |
Определить производственную программу, максимизирующую прибыль при условии: спрос на деталь А – не менее 300 шт., на деталь В – не более 200 шт.
6. При продаже двух видов товара используется 4 типа ресурсов. Норма затрат ресурсов на реализацию единицы товара, общий объем каждого ресурса заданы в таблице:
| Ресурсы | Норма затрат ресурсов на товары | Общее количество ресурсов | |
| 1-го вида | 2-го вида | ||
| 1 | 2 | 2 | 20 |
| 2 | 1 | 2 | 18 |
| 3 | 4 | 0 | 14 |
| 4 | 0 | 4 | 12 |
Прибыль от реализации одной единицы товара первого вида составляет 5 у.е., второго вида – 6 у.е.
Требуется найти оптимальный план реализации товаров, обеспечивающий торговому предприятию максимальную прибыль.
7. Для откорма крупного рогатого скота используется 2 вида кормов В1 и В2, в которые входят питательные вещества А1, А2, А3 и А4. Содержание количеств единиц питательных веществ в 1 кг каждого корма, стоимость 1 кг корма и норма содержания питательных веществ в дневном рационе животного представлены в таблице:
| Питательные вещества | Вид кормов | Норма содержания питательного вещества | |
| В1 | В2 | ||
| А1 | 3 | 4 | 24 |
| А2 | 1 | 2 | 18 |
| А3 | 4 | 0 | 20 |
| А4 | 0 | 1 | 6 |
| Стоимость 1 кг корма, у.е | 2 | 1 | |
Составить рацион при условии минимальной стоимости.
8. Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек чистую шерсть, силон и нитрон, запасы которых составляют, соответственно 800, 400, 300 кг. Количество трикотажного вида (кг), необходимого для изготовления 10 изделий, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице. Составить план производства изделий, обеспечивающий получение максимальной прибыли.
| Вид сырья | Затраты пряжи на 10 шт | |
| свитер | кофточка | |
| Шерсть | 4 | 2 |
| Силон | 2 | 1 |
| Нитрон | 1 | 1 |
| Прибыль, тыс. у.е | 6 | 5 |
9. При подкормке посевов необходимо внести на 1 га почвы не менее 8 единиц химического вещества А, не менее 21 единиц химического вещества В и не менее 16 единиц химического вещества С. Фермер закупает комбинированные удобрения двух видов 1 и 2. В таблице указаны содержание количества единиц химического вещества в 1 кг каждого вида удобрений и цена 1кг удобрений. Определить потребность фермера в удобрениях 1 и 2 вида на 1га посевной площади при минимальных затратах на их приобретение.
Химические вещества | Содержание химических веществ в 1 кг удобрения | |
| 1 | 2 | |
| А | 1 | 5 |
| В | 12 | 3 |
| С | 4 | 4 |
| Цена 1 кг удобрения, в у.е | 5 | 2 |
10. На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется 3 вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны получать животные, приведено в таблице. В ней также указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисы и песца.
| Вид корма | Количество единиц корма, которое ежедневно должна получать | Общее количество корма | |
| лисица | песец | ||
| I | 2 | 3 | 180 |
| II | 4 | 1 | 240 |
| III | 6 | 7 | 426 |
| Прибыль от реализации одной шкурки, в у.е | 160 | 120 | |
Определить количество лисиц и песцов, обеспечивающий получение максимальной прибыли.
|
|
Приложение 2
Контрольные задания по теме
«Транспортные задачи»
Имеются N поставщиков и M потребителей. В таблице указаны тарифы на перевозки от поставщиков к потребителям, предложения поставщиков и спрос потребителей.
Задания:
1. Построить математическую модель транспортной задачи, заданной распределительной таблицей и решить:
1.1. методом северо-западного угла;
1.2. методом минимального элемента;
1.3. методом запрещения перевозок (см. дополнительное условие);
1.4. оптимизировать полученное решение методом потенциалов;
1.5 Проверить полученное оптимальное решение с помощью математического пакета Mathcad.
Сделать выводы.
Вариант -1
| № N/M | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Предложение |
| 1 | 4 | 8 | 9 | 10 | 3 | 100 |
| 2 | 6 | 7 | 3 | 2 | 4 | 120 |
| 3 | 12 | 5 | 6 | 13 | 1 | 50 |
| 4 | 9 | 11 | 14 | 3 | 7 | 110 |
| 5ф | 15 | 15 | 15 | 15 | 15 | 50 |
| Спрос | 70 | 130 | 40 | 50 | 140 |
Условие. Решить задачу при условии, если перевозки от 2-го поставщика к 4-му потребителю и от 3-его поставщика к 5-ому потребителю временно закрыты.
Вариант -2
| № П/П | 1 | 2 | 3 | 4 | Предложение |
| 1 | 2 | 10 | 8 | 15 | 200 |
| 2 | 4 | 2 | 3 | 6 | 170 |
| 3 | 7 | 3 | 12 | 5 | 130 |
| 4 | 12 | 10 | 4 | 8 | 90 |
| 5 | 4 | 11 | 7 | 6 | 60 |
| Спрос | 50 | 220 | 140 | 120 |
Условие к пункту 1.3. Решить задачу при условии, если перевозки от 3-го поставщика ко 4-му потребителю и от 2-го поставщика к 1-ому потребителю временно закрыты.
Вариант -3
| № П/П | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Предложение |
| 1 | 2 | 10 | 8 | 15 | 5 | 200 |
| 2 | 4 | 2 | 3 | 6 | 12 | 170 |
| 3 | 7 | 3 | 12 | 5 | 13 | 130 |
| 4 | 11 | 6 | 8 | 3 | 6 | 120 |
| Спрос | 50 | 220 | 140 | 120 | 70 |
Условие к пункту 1.3. Решить задачу при условии, если перевозки от 4-го поставщика ко 4-му потребителю и от 2-го поставщика к 3-ему потребителю временно закрыты.
Вариант -4
| № П/П | 1 | 2 | 3 | 4 | Предложение |
| 1 | 7 | 4 | 5 | 5 | 110 |
| 2 | 9 | 6 | 12 | 8 | 130 |
| 3 | 8 | 13 | 9 | 9 | 90 |
| 4 | 10 | 2 | 3 | 11 | 80 |
| 5 | 11 | 5 | 10 | 13 | 70 |
| Спрос | 120 | 90 | 130 | 90 |
Условие к пункту 1.3. Решить задачу при условии, если перевозки от 4-го поставщика ко 3-му потребителю и от 3-го поставщика к 5-ому потребителю временно закрыты.
Вариант – 5
| № П/П | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Предложение |
| 1 | 3 | 10 | 8 | 7 | 5 | 200 |
| 2 | 4 | 2 | 3 | 6 | 12 | 170 |
| 3 | 7 | 3 | 10 | 5 | 13 | 130 |
| 4 | 15 | 6 | 8 | 3 | 11 | 120 |
| Спрос | 50 | 220 | 140 | 120 | 70 |
Условие к пункту 1.3. Решить задачу при условии, если перевозки от 2-го поставщика ко 2-му потребителю и от 3-его поставщика к 4-ому потребителю временно закрыты.
Вариант -6
| № N/M | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Предложение |
| 1 | 3 | 8 | 9 | 10 | 3 | 110 |
| 2 | 7 | 11 | 3 | 2 | 4 | 120 |
| 3 | 12 | 5 | 6 | 13 | 15 | 160 |
| 4 | 9 | 10 | 14 | 3 | 7 | 140 |
| Спрос | 70 | 130 | 40 | 50 | 150 |
|
|
Условие к пункту 1.3. Решить задачу при условии, если перевозки от 4-го поставщика ко 5-му потребителю и от 2-го поставщика к 4-ому потребителю временно закрыты.
Вариант -7
| № П/П | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Предложение |
| 1 | 2 | 10 | 4 | 15 | 5 | 210 |
| 2 | 4 | 2 | 3 | 6 | 12 | 170 |
| 3 | 7 | 3 | 12 | 5 | 11 | 130 |
| 4 | 11 | 6 | 8 | 8 | 14 | 140 |
| Спрос | 50 | 220 | 140 | 120 | 80 |
Условие к пункту 1.3. Решить задачу при условии, если перевозки от 4-го поставщика ко 4-му потребителю и от 2-го поставщика к 3-ему потребителю временно закрыты.
Вариант -8
| № П/П | 1 | 2 | 3 | 4 | Предложение |
| 1 | 7 | 4 | 5 | 5 | 210 |
| 2 | 9 | 6 | 12 | 8 | 130 |
| 3 | 8 | 13 | 9 | 9 | 90 |
| 4 | 10 | 2 | 3 | 11 | 180 |
| 5 | 11 | 5 | 10 | 13 | 70 |
| Спрос | 120 | 150 | 130 | 190 |
Условие к пункту 1.3. Решить задачу при условии, если перевозки от 1-го поставщика ко 3-му потребителю и от 3-го поставщика к 2-ому потребителю временно закрыты.
Вариант -9
| № П/П | 1 | 2 | 3 | 4 | Предложение |
| 1 | 6 | 14 | 5 | 5 | 140 |
| 2 | 9 | 6 | 2 | 8 | 150 |
| 3 | 8 | 13 | 9 | 9 | 90 |
| 4 | 10 | 2 | 3 | 12 | 120 |
| 5 | 11 | 5 | 10 | 13 | 170 |
| Спрос | 120 | 130 | 150 | 90 |
Условие к пункту 1.3. Решить задачу при условии, если перевозки от 5-го поставщика ко 3-му потребителю и от 3-го поставщика к 1-ому потребителю временно закрыты.
Вариант -10
| № П/П | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Предложение |
| 1 | 2 | 10 | 8 | 15 | 5 | 240 |
| 2 | 4 | 2 | 3 | 6 | 12 | 190 |
| 3 | 7 | 3 | 12 | 5 | 13 | 170 |
| 4 | 11 | 6 | 8 | 3 | 6 | 120 |
| Спрос | 150 | 120 | 230 | 120 | 70 |
Условие к пункту 1.3. Решить задачу при условии, если перевозки от 1-го поставщика ко 4-му потребителю и от 2-го поставщика к 5-ому потребителю временно закрыты.
Приложение 3
Контрольные задания по теме
«Задачи о назначениях»
1) Фирма, имеющая 4 склада, получила 4 заказа, которые необходимо доставить различным потребителям. Складские помещения каждой базы имеют вполне достаточное количество товара, чтобы выполнить любой один из этих заказов. Расстояния между каждой базой и каждым потребителем приведены в матрице 
и
Как следует распределить заказы по базам, чтобы общая дальность была минимальной?
2) Фирма объединяет 3 предприятия, каждое из которых производит 3 вида изделий.
Себестоимости каждого изделия в усл. ед. при изготовлении на каждом предприятии указаны в матрице
Учитывая необходимость специализации каждого предприятия только по одному изделию, распределить производство изделий по предприятиям так, чтобы изделия имели минимальную себестоимость.
3) Фирма имеет три механизма 
, каждый из которых может быть использован на каждом из трех видов работ 
, с производительностью, заданной матрицей (в условных единицах)
Распределить механизмы по одному на каждую из работ так, чтобы суммарная производительность всех механизмов была максимальной.
4) Фирма имеет 5 механизмов, каждый из которых может быть использован на каждом из 4-ех видов работ, с производительностью, заданной матрицей (в условных единицах)
Распределить механизмы по одному на каждую из работ так, чтобы суммарная производительность всех механизмов была максимальной.
|
|
Пять человек должны выполнить четыре работы, причем каждый из работников с разной производительностью может выполнить любую из этих работ. Предусматривается, что каждый работник в состоянии сделать только одну работу.
Производительности работников при выполнении работ заданы матрицей:
