Характеристики числовых массивов

 

При работе с числовыми массивами часто возникают задачи определения следующих величин.

Длина вектора

Среднее арифметическое

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Среднее квадратическое

Среднее геометрическое

Среднее гармоническое

Вычисление этих величин сводится в конечном итоге к вычислению со­ответствующих сумм и произведения.

 

Транспонирование матриц

 

Матрица В, у которой строки заменены столбцами по отношению к ис­ходной матрице А, т.е. , называется транспонированной.

Например:

Чтобы транспонировать матрицу, необходимо организовать двойной цикл по строкам и столбцам исходной матрицы А и в цикле элементам транс­понированной матрицы В присвоить значения элементов матрицы А, причем номер строки элемента матрицы В должен быть равен номеру столбца элемен­та матрицы А, а номер столбца элемента матрицы В должен быть равен номеру строки элемента матрицы А. Количество строк транспонированной матрицы В должно быть равно количеству столбцов исходной матрицы А, а количество столбцов матрицы В должно быть равно количеству строк матрицы А. Далее приведен пример программы транспонирования матрицы.

 

Sub Massiv12()

Dim A(3, 5) As Single, В(5, 3) As Single

Dim i As Integer, j As Integer

 

'Ввод матрицы А

'-------------

 

' Транспонирование матрицы А

For i = 1 To 3

For j = 1 To 5

B(j, i) = A(i, j)

Next j

Next i

 

End Sub

 

Сложение и вычитание матриц

 

Суммой матриц  и  является матрица , элементы ко­торой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В, т. е.

Разностью матриц  и  является матрица , элементы которой равны разностям соответствующих элементов матриц А и В, т. е.

Следует учесть, что суммировать и вычитать можно матрицы только одного размера.

 

Пример. Найти сумму и разность матриц А и В размером .

 

Sub Massiv13()

Dim A(l To 4, 1 To 7) As Single

Dim B(l To 4, 1 To 7) As Single

 

'Ввод массивов

'-----------------

 

Dim C(l To 4, 1 To 7) As Single 'Сумма

Dim D(l To 4, 1 To 7) As Single 'Разность

Dim i As Integer, j As Integer 'Ввод матриц А и В

'Вычисление суммы и разности матриц

For i = 1 To 4

For j = 1 To 7

C(i, j) = A(i, j) + B(i, j)

D(i, j) = A(i, j) - B(i, j)

Next j

Next i

 

'Вывод полученных массивов

'----------------

End Sub

 

Скалярное произведение векторов

 

Скалярным произведением векторов  и  называется число, рав­ное сумме попарных произведений их элементов:

Скалярно умножать можно вектор на вектор с равным количеством элементов.

Пример. Найти скалярное произведение векторов  и .

 

Sub Massiv14()

Dim X(l To 15) As Single, Y(l To 15) As Single

Dim i As Integer, P As Single

 

'Ввод векторов Х и Y

'-------------------

'-------------------

'Вычисление скалярного произведения векторов

Р = 0

For i = 1 To 15

Р = Р + X(i) * Y(i)

Next i

 

End Sub

 

Умножение матрицы на вектор

 

Произведением матрицы  на  является вектор , элементы которого С; получены путем скалярного произведения i -й строки матрицы А на вектор В, т.е.

Произведение матриц А на вектор В возможно только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно количеству элементов вектора В.

Например, в результате умножения матрицы  на вектор  полу­чим вектор :

 

Для вычисления произведения матрицы на вектор в программе необхо­димо организовать двойной цикл: внешний по строкам матрицы А и элементам вектора , внутренний по столбцам матрицы А и элементам вектора .

Пример. Умножить матрицу  на вектор .

 

Sub Massiv15()

Option Base 1

 

Dim А(5, 7) As Single, В(7) As Single

Dim С(5) As Single 'Результат умножения

Dim i As Integer, j As Integer

 

'Ввод матрицы и вектора

'---------------------

'---------------------

 

'Вычисление произведения

For i = 1 To 5

C(i) = О

For j = 1 To 7

C(i) = C(i) + A(i, j) * B(j)

Next j

Next i

 

End Sub

 

Перемножение матриц

 

Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица , элементы которой  получены путем скалярного произведения i -й строки матрицы А на j -й столбец матрицы В, т.е.

Произведение матриц А и В в указанном порядке возможно в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. К произведе­нию матриц в общем случае не применим переместительный закон, т.е. .

Например, в результате перемножения матриц  и  получим матрицу :

 

Как следует из данного примера и общей формулы, матрица - произведение С будет содержать n строк и m столбцов, для формирования которых по­требуется двойной цикл. Так как каждый элемент матрицы С в свою очередь представляет собой сумму нескольких слагаемых - произведений, для нахождения кото­рой также требуется цикл, то для вычисления произведения двух матриц требу­ется тройной цикл по индексам .

 

Пример. Вычислить произведение матриц  и .

 

Sub Massiv16()

Dim Х(1 To 4, 1 To 6) As Single

Dim Y(1 To 6, 1 To 5) As Single

Dim Z(1 To 4, 1 To 5) As Single 'Результат

Dim i As Integer, j As Integer, k As Integer

 

'Ввод матриц Х и Y

'-----------------

'-----------------

 

'Вычисление произведения матриц X и Y

For i = 1 To 4

For j = 1 To 5

Z(i, j) = 0

   For k = 1 To б

     Z(i, j) = Z(i, j) + X(i, k) * Y(k, j)

   Next k

Next j

Next i

End Sub