Вычисление монохроматических сумм Зейделя

Монохроматические суммы Зейделя S_I, S_II, S_III, S_IV и S_V, определяющие соответственно сферическую аберрацию, кому, астигматизм, кривизну поверхности изображения и дисторсию 3-го порядка, выполняются по формулам:

Напомним, что символ d означает разность стоящего за ним выражения в пространствах с порядковыми номерами k +1 и k. Кроме того введены следующие обозначения: J - инвариант Лагранжа-Гельмгольца,

Вычисления непосредственно по формулам сумм приводит к большим затратам времени и места (особо при большом количестве поверхностей). Поэтому это делается по специальной схеме, структура которой следует из формул для сумм. Ниже приведен пример вычисления сумм оптической системы, заданной в п.2.

a	da	n	n	dn		an	dan
0	0,77289	1	1	-0,36358	-2,12578	0,	0,49188
0,77289	-0,09614	1,5713	0,63642	-0,01795	5,35599	0,49188	-0,07333
0,67675	0,32325	1,6169	0,61847	0,38153	0,84725	0,41855	0,58145
1,0		1	1

 

		h	hp	b	db
-1,04563	2,22278	1	2,22278	1	-0,42917	-0,55528
-0,39275	-2,10357	0,94503	-1,98794	0,57083	-0,00622	0,064697
0,49263	0,41738	0,91769	0,38303	0,56461	0,36355	1,12467
				0,92816

 

		r
-1,23427	0,68537	58,21	0,47042	0,77288	1,45825	-0,80974
-0,12861	-0,00832	-44,36	-0,35849	-0,05007	-0,05839	-0,00378
0,43078	0,48449	743,0	6,00453	-0,06354	0,42095	0,47343

 

В приведенном примере используется результат расчета первого параксиального луча, рассчитанного при h ₁ =1, a ₁ =0, a _{p +1} =1, т.е. при . Вычисленные при этом суммы Зейделя принято обозначать через  (сверху черта для каждой суммы).

Если суммы вычислять на основе расчета первого параксиального луча, рассчитанного при , то , вместо  применяют r, а в обозначениях сумм применяют знак S (без черты сверху). При этом можно показать, что .

 

3.4. Вычисление линейных m¢, M¢ и угловых s¢, W¢ координат
точки встречи луча с плоскостью выходного зрачка

Предположим, что пучки лучей полностью заполняют входной и выходной зрачки (т.е. геометрическое виньетирование отсутствует). Из всех лучей выберем 8 лучей, встречающих плоскость выходного зрачка в точках, принадлежащих окружности с диаметром D ¢ и делящих эту окружность на 8 равных частей.

m¢ 2 M¢ 1 8 7 3 4 5 6 m¢ M¢ 45° P

Рис. 1. Координаты m¢ и M¢ точек встречи лучей с плоскостью выходного зрачка

На рис. 1 показано расположение этих точек на окружности с диаметром D ¢. Так как в нашем примере D ¢=38,12, выбранные точки имеют следующие координаты.

Точка 1.
Точка 2.
Точка 3.
Точка 4.
Точка 5.
Точка 6.
Точка 7.
Точка 8.

На рис. 2 в плоскости выходного зрачка, находящегося на расстоянии  от последней поверхности системы, построена прямоугольная система координат m ¢ P ¢ M ¢ с началом в центре P ¢ зрачка.

Рис. 2. Координаты m¢, M¢, s¢, W¢ точки L¢ встречи луча с плоскостью выходного зрачка

Последняя поверхн.

P¢

T¢

L¢

A¢

N¢

B¢

-y¢

s¢p¢

s¢-s¢p¢

s¢

s¢

w¢

-W¢

m¢

M¢

-M¢

m¢

 

Точка A ¢, являющаяся изображением осевой точки предмета, находится на расстоянии s ¢ от последней поверхности. Выходящий из системы луч встречает плоскость выходного зрачка в точке L ¢ с координатами m ¢ и M ¢. Точки T ¢ и N ¢‑ проекции точки на меридиональную и сагиттальную плоскости соответственно. Из рисунка следует, что

Для каждой из выбранных 8 точек необходимо далее вычислять значения tg s ¢ и tg W ¢. В нашем случае .

Точка 1.
Точка 2.
Точка 3.
Точка 4.
Точка 5.
Точка 6.
Точка 7.
Точка 8.

Вычисленные значения m ¢, M ¢, tg s ¢ и tg W ¢ для каждой выбранной точки необходимо записать в таблицу 1.

Таблица 1.

Точка	m ¢	M ¢	tg s ¢	tg W ¢
1	19,06	0	0,14295	0
2	13,48	13,48	0,10110	0,10110
3	0	19,06	0	0,14295
4	-13,48	13,48	-0,10110	0,10110
5	-19,06	0	-0,14295	0
6	-13,48	-13,48	-0,10110	-0,10110
7	0	-19,06	0	-0,14295
8	13,48	-13,48	0,10110	-0,10110

 

3.5. Вычисление меридиональных ¢ и сагиттальных  составляющих поперечных монохроматических аберраций 3-го порядка

Составляющие  и  поперечной сферической аберрации вычисляются по формулам:

Луч 1:
Луч 2:
Луч 3:
Луч 4:
Луч 5:
Луч 6:
Луч 7:
Луч 8:

Составляющие  и  комы вычисляются по формулам:

Луч 1:
Луч 2:
Луч 3:
Луч 4:
Луч 5:
Луч 6:
Луч 7:
Луч 8:

Составляющие  и  астигматизма и кривизны поверхностей изображения вычисляются по формулам:

Луч 1:
Луч 2:
Луч 3:
Луч 4:
Луч 5:
Луч 6:
Луч 7:
Луч 8:

ДИСТОРСИЯ имеет одну составляющую

Результаты вычислений по п. 3.5 необходимо занести в таблицу 2.

Таблица 2

№ луча	Сферическая аберрация		Кома		Астигматизм и кривизна		Дист.	Общая аберрация
1.	-0,112	0	-0,624	0	-1,139	0	-0,115	-1,989	0	1,989
2.	-0,079	-0,079	-0,416	-0,208	-0,805	-0,354	-0,115	-1,415	-0,641	1,553
3.	0	-0,112	-0,208	0	0	-0,501	-0,115	-0,323	-0,613	0,692
4.	0,079	-0,079	-0,416	0,208	0,805	-0,354	-0,115	0,354	-0,225	0,420
5.	0,112	0	-0,624	0	1,139	0	-0,115	0,513	0	0,513
6.	0,079	0,079	-0,416	-0,208	0,805	0,354	-0,115	0,353	0,225	0,420
7.	0	0,112	-0,208	0	0	0,501	-0,115	-0,323	0,613	0,692
8.	-0,079	0,079	-0,416	0,208	-0,805	0,354	-0,115	-1,415	0,641	1,553

 

3.6. Вычисление меридиональных ¢ и сагиттальных  
составляющих поперечных монохроматических аберраций 3-го порядка внемеридиональных (косых) лучей

Меридиональная  и сагиттальная  составляющие поперечной монохроматической аберрации луча вычисляются по формулам:

Из этих формул видно, что меридиональная составляющая луча  может быть вычислена как сумма меридиональных составляющих отдельных монохроматических аберраций, вычисленных в п. 3.5 (таблица 2).

Аналогично сагиттальная составляющая луча  может быть вычислена как сумма сагиттальных составляющих отдельных монохроматических аберраций, также вычисленных в п. 3.5 (таблица 2).

Величина самой поперечной монохроматической аберрации луча вычисляется по ее составляющим как .

Ниже приведены вычисления составляющих  и  8 выбранных лучей и поперечных аберраций этих лучей.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Полученные результаты вычислений также необходимо записать в таблицу 2.