Решение задач, входящих в курсовую работу

3.1. Расчет и контроль расчета параксиальных лучей.
Вычисление кардинальных элементов

Расчет первого параксиального луча целесообразно выполнять по формулам углов и высот:

	(1)
	(2)

где r_k - радиус кривизны поверхности с порядковым номером k, d_k - расстояние вдоль оптической оси между поверхностями с порядковыми номерами k и k +1, n_k и n_{k +1} - показатель преломления сред в пространствах с порядковыми номерами k и k +1 соответственно, a _k и a _{k +1} - углы между первым параксиальным лучом и оптической осью в тех же пространствах, h_k - высота параксиального луча на поверхности с номером k.

Расчет рационально (особенно при большом количестве поверхностей) выполнять по схеме, структура которой непосредственно следует из формул (1) и (2). Ниже приводится пример расчета по такой схеме параксиального луча через систему, заданную в п. 2 при
.

(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)	(10)
r	n	dn	dn/r	h	d(na)	na	a	d	ad
58,21	1,5713	0,5713	0,0098145	100	0,98145	0,98145	0,62461	8,8	5,49657
-44,36	1,6169	0,0456	-0,001029	94,503,44	-0,09724	0,88421	0,54685	5,0	2,73426
743,0	1,0	-0,6169	-0,0008303	91,76918	-0,07620	0,80801	0,80801

 

В столбцах (1), (2) и (9) записываются конструктивные параметры заданной оптической системы (r_k, n_k, d_k). При этом показатель преломления среды первого пространства не записывается, но учитывается при вычислении величины n ₁ a ₁.

Столбец (3) формируется из разностей n_{k +1} - n_k чисел столбца (2). При этом также учитывается не записанное в столбце (2) значение n ₁.

Столбец (4) формируется делением построчно чисел столбца (3) на числа столбца (1).

В первой строке столбца (5) записывается значение высоты h ₁. Этим значением может быть любое число. В рассматриваемом примере принято h ₁ = 100. Числа последующих строк этого столбца получают вычитанием из известного уже значения предыдущей высоты h_k числа в соответствующей строке столбца (10), как это и следует из формулы (2).

Если по условию то величине угла a₁ можно задать любое значение, например, a₁ = -1 (знак минус указывает, что в пространстве предметов луч идет снизу вверх). В этом случае h₁ = s₁ a₁.

Столбец (6) формируется умножением построчно столбца (4) на столбец (5).

Столбец (7) формируется как сумма (n_{k +1} a _{k +1} ‑ n_k a _k) + n_k a _k = d (n a) + n a из строк столбцов (6) и (7). При нахождении числа первой строки столбца (7) необходимо учитывать значение n ₁ a ₁, которое в столбце (7) не записывается.

Столбец (8) формируется делением значения столбца (7) на соответствующее значение столбца (2) построчно. Столбец (10) формируется умножением чисел столбца (8) на числа столбца (9) построчно.

В результате расчета будут вычислены значения высот h луча на всех поверхностях (столбец 5) и значения углов a луча во всех пространствах (столбец 8).

Если разделить значения всех углов a на значение угла в последнем пространстве, то в рассматриваемом примере получим

Эти значения углов называют ПРИВЕДЕННЫМИ.

Приведенные углы при можно получить сразу в результате расчета первого параксиального луча, если положить  (т.е. если предварительно известно фокусное расстояние системы).

В результате расчета первого луча при a ₁ = 0 станут известными высота h_p луча на последней поверхности и угол a _{p +1} в последнем пространстве (p - число поверхностей системы). После этого вычисляют заднее фокусное расстояние (фокусное расстояние в пространстве изображений) , задний фокальный отрезок  и расстояние  от вершины последней поверхности до задней главной плоскости соответственно по формулам

В нашем примере будем иметь

Для контроля правильности расчета первого параксиального луча и вычисления кардинальных элементов в пространстве предметов необходимо далее рассчитать параксиальный луч в обратном ходе света (справа налево). Для этого поворачивают систему на 180° так, чтобы последняя поверхность оказалась первой, предпоследняя - второй и т.д. При этом последняя среда окажется первой, предпоследняя второй, а знаки радиусов кривизны поверхностей поменяются на обратные. Рассчитав через повернутую систему параксиальный луч в прямом ходе света по тем же формулам (1) и (2) при  и выбранной высоте , получают значения углов во всех пространствах и высот на всех поверхностях. После этого вычисляют кардинальные элементы в пространстве предметов по очевидным формулам

(стрелка над буквами указывает, что соответствующая величина относится к системе в обратном ходе луча).

Ниже приводится пример расчета первого параксиального луча в обратном ходе при  и  через систему, заданную в п.2.

r	n	dn	dn/r	h	d(na)	na	a	d	ad
-743,0	1,6169	0,6169	-0,0008303	100	-0,08303	-0,08303	-0,051351	5,0	-0,25676
44,36	1,5713	-0,0456	-0,001028	100,258	-0,10306	-0,18609	-0,11843	8,8	-1,04221
-58,21	1,0	-0,5713	-0,0098145	101,300	0,99421	0,80812	0,80812

Об отсутствии ошибок при расчете первого параксиального луча в прямом и обратном ходе судят по соотношению

(). Если при расчете имеются ошибки, то это соотношение выполняться не будет.

Расчет второго параксиального луча выполняется по формулам

	(3)
	(4)

Эти формулы аналогичны формулам (1) и (2).

Разница между ними только в том, что высоты и углы второго параксиального луча обозначаются буквами  и b (вместо h и a). Расчет выполняют по той же схеме, что и расчет первого параксиального луча.

Так как расстояние s_p от вершины первой поверхности до входного зрачка считается заданным, то . Величине угла b₁ можно придать любое численное значение, но для последующих вычислений аберраций чаще всего полагают b₁ =+1.

Ниже приведен расчет второго параксиального луча через заданную систему при b ₁ = 1, .

r	n	dn	dn/r		d(nb)	nb	b	d	db
58,21	1,5713	0,5713	0,0092145	-10,5	-0,10305	0,89695	0,57083	8,8	5,02332
-44,36	1,6169	0,0456	-0,001028	-15,523	0,01596	0,91291	0,56461	5,0	2,82803
743,0	1,0	-0,6169	-0,0008303	-18,346	0,015233	0,92876	0,92816

Проверка расчета второго параксиального луча выполняется по формуле

(5)

В рассматриваемом примере

 

 

Следовательно, в выполненных расчетах ошибок нет.

 

3.2. Вычисление положений и диаметров выходного
зрачка и полевой диафрагмы

Выходной зрачок является изображением входного зрачка в пространстве изображений. Поэтому положение выходного зрачка может быть определено по результатам расчета второго параксиального луча величиною

По заданному относительному отверстию 1:3,5 и вычисленному фокусному расстоянию  вычисляется диаметр входного зрачка

Линейное увеличение в зрачках

Следовательно, диаметр выходного зрачка

Полевая диафрагма, ограничивающая угловое поле 2 w, располагается в плоскости действительного изображения. Так как плоскость предметов расположена на бесконечности, то плоскость изображения совпадает с задней фокальной плоскостью. Следовательно, полевая диафрагма расположена на расстоянии  мм справа от вершины последней поверхности.

Диаметр полевой диафрагмы