Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Парадокси методу максимальної правдоподібності
Історія парадоксу Метод максимальної правдоподібності є одним з найбільш ефективних методів оцінювання невідомих параметрів. Він здобув поширення в двадцяті роки нашого століття завдяки роботам англійського статистика Р. Фішера. І хоча у Фішера були попередники, саме його робота, написана в 1912 р., зіграла в цьому вирішальну роль. Нехай у ймовірнісного розподілу (залежного від невідомого параметра ) існує щільність, яку позначимо через . Якщо елементи вибірки незалежні, то їх спільна щільність запишеться у вигляді . Нехай числа - вибіркові значення. Тоді є оцінкою максимальної правдоподібності параметра , якщо максимізує добуток як функцію від (припустимо, що максимум існує й єдиний). В разі дискретних випадкових величин максимізуємо спільний розподіл . Якщо ми оцінюємо за методом максимальної правдоподібності, то ймовірність того, що спостерігатимуться значення стає максимальною. Оцінка максимальної правдоподібності володіє низкою добрих властивостей, і тому відповідний метод набув широкого поширення. Наприклад, якщо є оцінкою максимальної правдоподібності параметра , то - оцінка максимальної правдоподібності для . Можна також довести, що за достатньо загальних умов оцінка максимальної правдоподібності асимптотично поводиться як нормально розподілена випадкова величина з середнім значенням і дисперсією , отже, - спроможна оцінка, і її дисперсія асимптотично мінімальна (тобто сама оцінка асимптотично ефективна). Більш того, якщо достатня статистика існує, то метод максимальної правдоподібності приведе до функції від цієї достатньої статистики. Парадокси 2.8.2.1 Нехай - незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на інтервалі . Оцінка максимальної правдоподібності невідомого параметра q дорівнює . Трохи змінивши її, отримаємо
,
незміщену оцінку для з дисперсією
.
З іншого боку, дисперсія оцінки
асимптотично еквівалентна , отже, ця оцінка більш ефективна, ніж оцінка максимальної правдоподібності. 2.8.2.2 Наведемо простий приклад, який показує, що оцінка максимальної правдоподібності не завжди спроможна. Нехай - множина раціональних чисел між , а В - деяка зліченна множина ірраціональних чисел між . Припустимо, що значеннями незалежних елементів вибірки є тільки , причому значення 1 набувається з імовірністю , якщо - елемент множини А, і з імовірністю , якщо - елемент В. Тоді оцінка максимальної правдоподібності для не є спроможною. Хоча дещо складніша спроможна оцінка для все ж існує.
Пояснення парадоксів 2.8.3.1 Статистики
в сукупності містять всю інформацію про параметр ; точніше, при заданих і спільна щільність ймовірностей величин не залежить від (тобто і в сукупності утворюють достатню статистику). Таким чином, природно вважати, що як оцінка максимальної правдоподібності, так і оцінка, яка виявилась кращою, залежать лише від і . Оскільки оцінка максимальної правдоподібності залежить тільки від статистики , яка не є достатньою (вона не містить всю інформацію про ), недивно, що знайшлася краща оцінка. Це не суперечить асимптотичній ефективності оцінки максимальної правдоподібності, оскільки у випадку рівномірного розподілу “загальні умови", які забезпечують ефективність, не виконані. 2.8.3.2 Пояснення досить просте: оцінка максимальної правдоподібності для є частота , яка прямує до для ірраціональних . Нехай
1. , якщо , тобто , 2. , якщо , тобто . ,
Розглянемо (1) випадок.
, . (2.8 3.2.1)
Логарифмуємо вираз (2.8 3.2.1):
. (2.8 3.2.2)
Беремо частинну похідну за параметром :
. (2.8 3.2.3)
Приводимо подібні доданки:
, .
- оцінка максимальної правдоподібності для , якщо . Знаходимо математичне сподівання оцінки :
(2.8 3.2.4)
Для будь-якого
:
- спроможна оцінка для параметра , . Розпишемо аналогічно для другого випадку.
, . (2.8 3.2.5)
Логарифмуємо вираз
.
Беремо частинну похідну за параметром :
. (2.8 3.2.6)
Приводимо подібні доданки:
, .
- оцінка максимальної правдоподібності для , якщо
: .
Знаходимо математичне сподівання оцінки :
,
- незміщена оцінка для параметра , якщо Для будь-якого :
.
- спроможна оцінка для параметра , для . Оцінка для параметра у випадках та різні:
, якщо І , якщо .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-08-16; просмотров: 37; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.199.122 (0.02 с.) |