Інститут економіки та нових технологій

ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ ТА НОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

Кафедра прикладної математики та математичного моделювання

 

  

 

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

До самостійного вивчення вищої математики

на економічному факультеті

 

Розділ І. Елементи лінійної алгебри.

 I курс, 1 семестр.

 

Кременчук

2003

Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу ІЕНТ і авторів заборонено.

 

Методичні рекомендації до самостійного вивчення вищої математики на економічному факультеті

(розділ І. Елементи лінійної алгебри. I курс, 1семестр).

 

Укладач: Тристан Віктор Миколайович, старший викладач.

Рецензент: Семенов В.О, кандидат фізико-математичних наук, професор.

Комп’ютерний набір: Тристан А.В.

Відповідальний за випуск: професор Семенов В.О.

 

 

Методичні рекомендації розглянуті та рекомендовані до видання на засіданні кафедри прикладної математики та математичного моделювання від 30 серпня 2003р., протокол № 1

 

Схвалено методичною радою ІЕНТ “_____”_______________р.,

протокол №______.

 

Затверджено Вченою радою ІЕНТ “_____”_______________р.,

протокол №______.

Наклад 26 примірників

Передмова

 

Методичні рекомендації адресовані студентам економічного факультету, які навчаються за спеціальностями „Облік та аудит” та „Маркетинг” стаціонарно та заочно. Вони містять необхідний теоретичний матеріал і розв’язання типових задач І розділу курсу вищої математики для економістів „Елементи лінійної алгебри”, що вивчається в першому семестрі.

Мета методичних рекомендацій полягає у тому, щоб допомогти студентам засвоїти цей розділ курсу вищої математики та набути навичок самостійної роботи при розв’язуванні задач.

Методичні рекомендації містять завдання для самостійної роботи, завдання контрольної роботи в 30 варіантах.

З метою самоконтролю за вивченням курсу до методичних рекомендацій внесено питання для підготовки до екзамену.

Методичні рекомендації містять список рекомендованої літератури.

 

І. Основні питання, що вивчаються в розділі „Елементи лінійної алгебри”.

1. Матриці. Лінійні операції над матрицями. Добуток матриць.
2. Визначники 2-го та 3-го порядків та їх властивості.
3. Обчислення визначників.
4. Ранг матриці. Мінори та алгебраїчні доповнення. Елементарні перетворення матриць. Обернена матриця.
5. Системи алгебраїчних лінійних рівнянь. Матричний спосіб розв’язання систем.
6. Розв’язання систем лінійних рівнянь за допомогою формул Крамера.
7. Метод Гаусса розв’язання систем лінійних рівнянь.
8. Розв’язування довільних систем лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі).
9. Метод Гаусса-Жордана розв’язання систем лінійних рівнянь.
10. Застосування систем алгебраїчних лінійних рівнянь до аналізу моделі Леонтьєва багатогалузевої економіки.

 

ІІ. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач.

1. Матриці. Лінійні операції над матрицями. Добуток матриць.

.

 

Означення 1

Числова матриця – це прямокутна таблиця, елементами якої є числа.

Ця таблиця позначається великою літерою і поміщається в дужках.

Наприклад, А= – це матриця розмірності 3х4.        

Розмірність матриці позначається m х n, де   m – кількість рядків, а  n – кількість стовпців.

                                                 

Означення 2

Сумою (різницею) двох матриць А та В називається така третя матриця С, елементи якої одержують додаванням (відніманням) елементів вихідних матриць, що стоять у однакових рядках та стовпцях.

 

Приклад 1

Знайти суму матриць А + В.

А= , В = , А+В= .

Означення 3

Множення матриці на число дає нову матрицю, кожний елемент якої дорівнює добутку вихідної матриці на задане число.

 

Приклад 2

Дана матриця А. Знайти 2А.

А= , 2А=

Означення 4

Добутком АВ=С матриці А розмірів m x n і матриці В розмірів n x p називається матриця С розмірів m x p, елемент с_ij якої дорівнює сумі добутків відповідних елементів i-го рядка матриці А та елементів j-го стовпця матриці В, тобто с_ij =   (i =1, 2, …, m; j = 1, 2, … p).

 

Приклад 3

Знайти добуток двох матриць.

С = А ∙ В = ∙ =

= =

Як бачимо, множення матриць можливе тільки тоді, коли кількість стовпців першої матриці співпадає з кількістю рядків другої матриці. Такі дві матриці будемо називати узгодженими. Множення матриць у загальному випадку не підлягає комутативній властивості.

 

Означення 5

Одиничною матрицею називається матриця, що містить одиниці на діагоналі і нулі на інших місцях.

Е =

Означення 6

Квадратною матрицею називається матриця, в якій однакова кількість рядків і стовпців.

Порядком квадратної матриці називається кількість рядків (чи стовпців).

 

Означення 7

Транспонована матриця – це матриця, у якій рядки замінені стовпцями. Наприклад,

А =                    А^Т =

Означення 8

Визначником (детермінантом) квадратної матриці другого порядку є число, обчислене за таким правилом.

Якщо А = , то =  

Наприклад, якщо А = , то = = 2∙9–8∙4=18– –32= –14.

 

Властивості визначника (детермінанта):

 

1. Визначник дорівнює 0, якщо всі елементи деякого рядка (чи стовпця) дорівнюють 0.

2. Визначник дорівнює 0, якщо елементи рядка (чи стовпця) пропорційні.

3. Якщо два стовпці чи рядки переставити місцями, то знак визначника зміниться на протилежний.

4. Величина визначника не зміниться, якщо всі рядки замінити стовпцями.

5. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка (чи стовпця) додати елементи іншого рядка, помножені на постійне число.

                                                                                                            

6. Якщо всі елементи рядка помножити на постійне число , то величина визначника збільшиться в  разів.

 

7. Наслідок.

Постійний множник з рядка (чи стовпця) можна виносити за знак визначника.

3. Обчислення визначників.

 

Для матриці третього порядку  Визначник обчислюється за формулою:

 

Приклад 4

Обчислити визначник 3-го порядку способом розкладання за елементами рядка.

 

 

Для визначника третього порядку мають місце ті ж властивості.

Користаючись цими властивостями, а саме властивістю 5, визначник можна привести до трикутного вигляду, тобто до вигляду, коли елементи, що знаходяться під головною діагоналлю, будуть рівні 0.

 

Приклад 5

Привести визначник до трикутного вигляду й обчислити його.

=

= – =

 

= –12(1(-3)1–0)=36

Означення 9

Мінором для елемента с_ij називається визначник, одержаний з матриці, якщо в ній викреслити елемент разом з i- тим рядком і  j -тим стовпцем.

Алгебраїчним доповненням до елемента називається число, отримане при множенні мінору на число (–1)^i+j, де i – номер рядка, j – номер стовпця.

Позначимо А_ij = (–1)^i+j M_ij, тоді визначник третього порядку запишеться так:

 

Означення 10

Мінором r-го порядку матриці А розмірів m x n називається визначник r-го порядку, утворений з елементів матриці А, що залишились після викреслення в ній m-r рядків і n-r стовпців (r  m, r n).

Означення 11

Натуральне число r називається рангом матриці А, якщо воно задовольняє такі вимоги:

1. Матриця А має мінор r-го порядку, відмінний від нуля;

2. Усякий мінор (r+1)-го і більш високого порядку (якщо такі існують) дорівнює нулю.

Означення 1 2

Елементарними перетвореннями матриці називають такі операції:

1. Перестановка (транспозиція) двох рядків або стовпців;

2. Додавання до всіх елементів рядка (стовпця) відповідних елементів другого рядка (стовпця), помножених на деяке число.

Матриці, здобуті одна з іншої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень, називаються еквівалентними.

Теорема 1

Означення 13

Матриця розмірів m х n, рангу r 1 називається трапецієподібною, якщо існує таке натуральне число l       (l  ), що

1. Елементи а ₁₁, а ₂₂,... а_ll  не дорівнюють нулю;

2. Якщо l<m, то елементи стовпців, що стоять під елементами а ₁₁, а ₂₂, а _33, ... а _ln , дорівнюють нулю; якщо l=m, то дорівнюють нулю елементи стовпців, що стоять під елементами а ₁₁, а ₂₂,... а _l-1l-1. Трапецієподібна матриця має вигляд

Теорема 2

Ранг трапецієподібної матриці дорівнює кількості ненульових рядків.

Обчислення рангу матриці способом знаходження елементарними перетвореннями еквівалентної даній трапецієподібної матриці.

 

Приклад 6

Обчислити ранг матриці А= .

 

Виконаємо такі елементарні перетворення матриці А. Переставимо місцями 1-й і 3-й стовпці матриці А, отримаємо:

.

Додамо до елементів 2-го рядка елементи 1-го, а до третього елементи 1-го рядка, помножені на число – 5, тоді матимемо:

.

Додаючи до елементів 3-го рядка елементи другого, помножені на 3, дістанемо:

.

Здобули трапецієподібну матрицю, для якої . Отже, r(A) = 2.

Означення 1 4

Квадратна матриця С порядку n називається оберненою до матриці А, якщо АС=СА=Е, де Е – одинична матриця n- го порядку. Матриця, обернена до матриці А позначається через А^-1. Квадратна матриця А порядку n називається особливою, якщо її детермінант дорівнює нулю. Якщо 0, то А називається неособливою.

Теорема 3

Особливі матриці обернених не мають. Кожна неособлива матриця має обернену матрицю, що обчислюється за формулою:

А^{- 1} = , де А_ij  –

алгебраїчне доповнення елемента а_ij матриці А.

 

Приклад 7

Для даної матриці А=  знайти обернену і виконати перевірку.

 

1. Обчислимо визначник даної матриці.

= =2 - 3 + 5 = 2(5–9) –3(20–     –9)+5(12–3)=–8–33+45=4, як бачимо , тому існує обернена матриця.

2. Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів даної матриці.

А ₁₁= (–1)¹⁺¹ = 5–9 = –4.

А ₁₂= (–1)¹⁺²  = – (20–9) = –11.

А ₁₃= (–1)⁴  =12–3 =9.

 

А ₂₁= (–1)³  = – (15–15) =0.

А ₂₂ = (–1)⁴ = (10–15) =–5.

А ₂₃ = (–1)⁵ = – (6–9) =3.

А ₃₁ = (–1)⁴ = 4.

А ₃₂ = – (–14) =14.

А ₃₃ = –10.

 

3. Запишемо обернену матрицю за формулою:

А ^-1 =

4. Перевірка. А ^-1∙ А = =

 

= = = = = Е.

Приклад 8

Розв’язати систему лінійних рівнянь:

 

1. Матриця системи, матриця вільних членів мають вигляд:                                             

А= , В=

2. Знайдемо обернену матрицю А ^-1 за формулою

А ^-1= , обчисливши визначник та алгебраїчні доповнення елементів матриці.

= 1(4–0) –1(8–3)+2(0–1)= 4–5–2= –3

А ^-1=    Х = А ^-1. В = – =

 

= = = .

Отже,

 

Приклад 9

Розв’язати систему рівнянь:    

 

1. Обчислимо головний визначник:

= = (4-0)-(8-3)+2(0-1)= 4-5-2= -3

2. Обчислимо визначники:

х₁= = 7(4-0)-(40-18)+2(0-6)= 28-22-12= -6

 

х₂= = (40-18)-7(8-3)+2(12-10)= -9

 

х₃= = (6-110)-(12-10)+7(0-1)= -3

3. Запишемо розв’язок за формулами Крамера:

х ₁= = 2               х ₂= = 3               х ₃= = 1

Відповідь. (2;3;1)

Означення 16

Розширеною матрицею системи називають матрицю, в якій до основної матриці системи приєднали стовпець вільних членів, тобто

=

 

Приклад 10

Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь:

1. Запишемо розширену матрицю, виконаємо елементарні перетворення за алгоритмом Гаусса:

=

.

 

2. Таким чином, одержали систему, рівносильну даній:

3. З цієї системи знаходимо розв’язок системи:

Відповідь.(3, 2, 0)

 

Приклад 11

Розв’язати систему рівнянь:

1. Обчислюємо визначник системи:

= =1(4+10)–2(8+8)+3(10–4)=14–32+18=0.

Матриця системи особлива, тому розв’язати за формулами Крамера не можна. Використаємо метод Гаусса.

Запишемо розширену матрицю системи і виконаємо елементарні перетворення:

.

Як бачимо, ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної матриці (r =2), тому за теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна, але має нескінченне число розв’язків.

Виберемо базисний мінор M= = –3 0. Базисні невідомі: х ₁, х ₂. Вільні невідомі: х ₃.

Дана система рівносильна такій:

      

 

 

Позначимо вільну невідому х ₃= с(с R), тоді розв’язок запишеться так:

Частинний розв’язок одержимо, якщо с = 1

Приклад 11

Розв’язати систему рівнянь:

 

1. Запишемо розширену матрицю і виконаємо елементарні перетворення Гаусса.

Як бачимо, ранг матриці дорівнює рангу розширеної матриці r(A) = r(  )=2, тому за теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна.

2. Виберемо базисний мінор М = . Базисні невідомі: х ₁, х ₂, вільні невідомі: х _3, х ₄, х _5.

3. Знайдемо базисні невідомі:

         

Нехай х ₃= с ₁, х ₄= с ₂, х ₅= с ₃ (с ₁, с₂, с ₃ – дійсні числа). Розв’язок системи:

Приклад 12

Розв’язати систему методом Гаусса-Жордана

Перетворення системи по методу Гаусса-Жордана запишемо в таблицях, виділивши на кожному кроці розв’язувальний елемент.

 

З останньої таблиці записуємо розв’язок системи:

I V. Завдання для контрольної роботи.

Завдання 1

Дано дві матриці А і В. Знайти:

а) добуток матриць А∙В;

б) обернену матрицю ;

в) знайти ;

1.

2.        

3.     

4. .

5. .           

6. .

7. .          

8. .

9. .          

10. .

11. .       

12. .

13. .         

14. .

15. . 

16. .

17. .     

18. .

19. .      

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .      

26. .

27. .    

28. .

29. .       

30. .

Завдання 2

Розв’язати систему рівнянь:

 

а) за формулами Крамера;

 б) матричним методом;

 в) методом Гаусса-Жордана.

 

 

V. Список використаної і рекомендованої літератури.

1. Апатенок Р.Ф.Элементы линейной алгебры. – Мн. «Вышейш. школа», 1977.
2. Гетманцев В. Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування: навчальний посібник. – К.: Либідь, 2002. – 256 с.
3. Данко П.Б., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.Высш.шк.,1980-1984,т.1.
4. Дискант В.І. Береза Л. Р. і інші. Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. – К.: Вища шк., 2001.- 303 с.
5. Кремер Н.Ш. Путко И.М. и др. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. – 471 с.
6. Тевяшев А. Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах і задачах. ч. 1. Лінійна алгебра і аналітична геометрія. Диференціальне числення функцій однієї змінної. – Харків: ХТУРЕ.2002 – 552 с.
7. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. – М.: Высш.шк.,1978, т.1.
8. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. – Київ: ЦУЛ, 2002. – 400 с. – Серія: математичні науки.

 

Здано до набору 12.08.03. Підписано до друку 30.08.03.

Формат 145×210. Папір 80г/м², обкладинка 80г/м².

Друк лазерний.

Віддруковано на обладнанні

 

ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ ТА НОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ