Уравнение прямой на плоскости (условие параллельности, перпендикулярности, угол между прямыми).

общее уравнение прямой на плоскости:Ах+Ву+С=0,где С=-Ах₀-Bу₀

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Условие параллельности:

 Если прямые заданы уравнениями x cosα+y sinα-ρ=0(нормальное ур-ие прямой) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k ₁ = k ₂.

Условие перпендикулярности:

В случае, когда прямые заданы уравнениями x cosα+y sinα-ρ=0 с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Угол между прямыми

Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом.

y=kx+m

 

Уравнение спроса.ур-е предложения.точка равновес.цены

Деление отрезка в заданном отношении.

Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки (, ) и (, ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

, .

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

, .

Вывод ур-ия окр-ти.

Если точка С - центр окружности, R - ее радиус, а M - произвольная точка окружности, то из определения окружности следует, что . Последнее равенство есть характеристическое уравнение окружности радиуса R с центром в точке C.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат и точка C(a;b)- центр окружности радиуса R. Пусть М(х;у) - произвольная точка этой окружности. Как известно, расстояние , поэтому уравнение можно записать так:

или

 

 

Вывод ур-ия эллипса

Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы эллипса буквами и . Расстояние между ними - фокальное расстояние , и . Если М(х;у) - произвольная точка эллипса, то по определению эллипса - характеристическое уравнение эллипса.

Введем систему координат: , и . Тогда фокусами будут точки и .

Пусть М(х;у) - любая точка эллипса, тогда

Запишем характеристическое уравнение эллипса в координатной форме:

Преобразуем равенство:

Перенесем в левую часть равенства выражение, содержащее корень:

Так как а>с, то . Пусть , то

- каноническое уравнение эллипса.

 

Вывод ур-ия гиперболы

Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно 2с, а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение

 

где

 

Доказательство. Пусть M(х;у) -- текущая точка гиперболы (рис. 12.9).

 

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть , . В силу последнего неравенства вещественное число b, определяемое формулой существует.

По условию, фокусы -- , . По формуле для случая плоскости получаем

По определению гиперболы

Это уравнение запишем в виде

Обе части возведем в квадрат:

После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству

Опять обе части возведем в квадрат:

Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим

С учетом формулы уравнение принимает вид

Разделим обе части уравнения на и получим уравнение

 

Вывод уравнения параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директри­сой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид х=-р/2.

Пусть М(х;у) — произвольная точка параболы. Соединим точку Μ с F. Проведем отрезок ΜΝ пер­пендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = ΜΝ. По формуле расстояния между двумя точками на­ходим:

Следовательно,

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

т. е.

Уравнение  называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядка.