Минор и алгебраическое дополнение.

Матрицы и их классификация.

Матрица -прямоуг.табл.чисел,имеющая m строк и n столбцов.эти числа наз-ся элементами матрицы.

Квадратная -матрица n-го порядка размера mна n

Диагональная -квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Скалярная- диагональная матрица,у кот.все элементы гл.диагонали равны нулю.

Действия с матрицами

Сложение матриц

Суммой двух матриц одного размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих (т.е. стоящих на одинаковых местах) элементов данных матриц.

Можно складывать матрицы одинаковой размерности

Произведение

Произведением матрицы А на матрицу В наз-я матрица С,элемент которой равен скалярному произведению i-ой строки матрицыА на j-ый столбец матрицыВ.

Можно умножать только те, матрицы у которых число столбцов 1-ой равно числу строк 2-ой

Умножение на число

Произведением матрицы А на число Л называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента данной матрицы на это число.

Транспонирование

-операция, когда строки и столбцы меняются местами.

 

Обратная матрица

Матрица В наз-ся обратной,для матрицы А,если произведение этих матриц коммуникативно и равно един-ой матрице(АВ=ВА=Е).(понятие вводитс только для квадратных матриц)

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Алгоритм нахождения:

1.. Убедиться, что определитель матрицыА не равен0. 

2. Транспонировать матр А

3. Вычислить алг.допол.для новой матрицы

4. Сост-ть Аˉ¹ по формуле:

А₁₁А₁₂А₁₃

…………..

А₁ₓА₂ₓА₃ₓ

Фор-ой(4)можно пользоваться,если не делать(2),если делать п.2,то формула:

Определители2и 3 порядков

Определителем 2-го порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:

Определителем третьего порядка наз-ся след-ее выражение:

 

 

Правило «звезды»:

со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположного угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольников, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус.

 

Свойства определителей.

1. Если какая-то строка (столбец) состоит из одних нулей, то определитель=0

2. Если какой-то ряд определ. Умножить на одно и тоже число, то и величина определителя умножится на это число.

3. А = АТ

Величина определителя при транспонировании не меняется.

4. Если в определителе есть 2 одинаковых ряда, то он = 0

5. Тоже св-во, если ряды пропорциональны

6. Величина определителя НЕ изменяется, если к элементам какой-то строки прибавится элементы др. строки, умноженные на одно и тоже число.

7. Если элементы какого-то ряда умножить на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда, то определитель = 0

 

Теорема Лапласа.

Величина любого определителя числено равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнения.

2 -1 3 2А11+(-1)А12+3А13=

4 2 2 =                              

3 4 5

Метод джордна-гауса

Решить методом Жордана-Гаусса систему уравнений:

Решение

Составим сначала соответствующую таблицу:

Составим сначала соответствующую таблицу:

x1	x2	x3	x4	bi	∑	contr
3	4	[1]	2	3	13
6	8	2	5	7	28
9	12	3	10	13	47
3	4	1	2	3	13	13
0	0	0	[1]	1	2	2
0	0	0	4	4	8	8
3	4	1	0	1	9	9
0	0	0	1	1	2	2
0	0	0	0	0	0	0

1. Разрешающим элементом изберем коэффициент при х₃ в первом уравнении. Он единственный равняется единице (в рамке).
2. Разрешающая строка (первый) и разрешающий столбец сразу записываем в таблицу.

3. Заполняем вторую строку таблицы, используя формулу.
Начнем с элемента b₂₁. В предыдущей таблице находим элементы, которые стоят на пересечении первой и второй строк с первым и третьим столбцами и образовываем из них определитель:.
Напомним, что произведение разрешающего элемента на тот, что стоит на его диагонали, всегда берется со знаком «+». Аналогично для нахождения b₂₂ имеем определитель; для ; .
Дальше делаем проверку. Находим по аналогичному правилу элемент, который должны стоять во второй строке и в столбце ∑. Это будет . Записываем это значение в столбец contr.
Вычисляем сумму элементов, которые стоят во второй строке к столбцу ∑: 0+0+1+1=2. Добытая сумма совпадает с соответствующим элементом столбца contr, поэтому коэффициенты второй строки таблицы найдено правильно.
4. Аналогично предыдущему находим элементы третьей строки:

Получив таким образом коэффициенты b_kl, запишем их в таблицу ниже от первой горизонтальной черточки. На пересечении второй строки и четвертого столбца этой таблицы стоит 1. Выберем ее за новый разрешающий элемент. Выполнив процедуру нахождения, получим окончательную таблицу коэффициентов

1. Разрешающим элементом изберем коэффициент при х3 в первом уравнении. Он единственный равняется единице (в рамке).

2. Разрешающая строка (первый) и разрешающий столбец сразу записываем в таблицу.

3. Заполняем вторую строку таблицы, используя формулу.

Начнем с элемента b21. В предыдущей таблице находим элементы, которые стоят на пересечении первой и второй строк с первым и третьим столбцами и образовываем из них определитель:.

Напомним, что произведение разрешающего элемента на тот, что стоит на его диагонали, всегда берется со знаком «+». Аналогично для нахождения b22 имеем определитель; для;.

Дальше делаем проверку. Находим по аналогичному правилу элемент, который должны стоять во второй строке и в столбце ∑. Это будет. Записываем это значение в столбец contr.

Вычисляем сумму элементов, которые стоят во второй строке к столбцу ∑: 0+0+1+1=2. Добытая сумма совпадает с соответствующим элементом столбца contr, поэтому коэффициенты второй строки таблицы найдено правильно.

5. Аналогично предыдущему находим элементы третьей строки:

Получив таким образом коэффициенты bkl, запишем их в таблицу ниже от первой горизонтальной черточки. На пересечении второй строки и четвертого столбца этой таблицы стоит 1. Выберем ее за новый разрешающий элемент. Выполнив процедуру нахождения, получим окончательную таблицу коэффициентов

 

Теорема Кронекера-капелли

Для того, чтобы рассматриваемая СЛУ была совместной н.ид.чтобы рангА=рангВ

Из теоремы следует:

1)Если рангА не= рангВ, то СЛУ несовместна.

2)Если рангА=рангВ=n(число неизвестных), то решение системы имеет единственное решение.

3)Если рангА=рангВ меньше n, то СЛУ имеет большинство решений

-Если рангА=n, то СЛУ однор. Имеет только единственное нулевое решение.

-Если ранг меньше n, то кроме нулевого есть и ненулевые решения.

 

14.Линейная балансовая модель.(модель Леонтьева)

Рассмотрим n-отраслей причем каждый из них с одной стороны производит продукцию, а с другой является потребителем своей и соседней отраслей.

Введем обозначения:

Х_i – общий или валовой объем продукции отрасли i=1 – n

Х_ij  - объем продукции отрасли i, который в процессе производства потребляется отраслью j. j=1-n

Y_i – объем конечного продукта отрасли i.

Должно быть выполнено уравнение баланса:

 

 

Введем кофициенты прямых затрат

a_ij =X_ij/X_j

Выразим отсюда i и j

X_ij=a_ijX_j

И подставим в уравнение баланса.

 

Продуктивность модели.

Матрица А называется продуктивной, (А≥ 0) если для любого У≥ 0 существует решение Х для системы уравнения Х=SY

Соответственно и модель Леонтьева тоже продуктивна.

Критерий продуктивности:

Max сумм эл-ов по столбцам не больше 1, и хотя бы для одного столбца такая система строго меньше 1.

  Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица ;
2) матричный ряд сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А)^-1;

3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, то есть решение характеристического уравнения

строго меньше единицы;
4) все главные миноры матрицы (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.
Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

 

Полярная система координат.

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.

Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)

и обратно:

ρ=√ (x²)+y²), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)

Полярными координатами произвольной точки P (относительно заданной системы) называются числа p=OP и O=уголАОР (см. рис.). Угол О при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число р называется первой координатой, или полярным углом точки Р (называются также амплитудой). Полярный угол О имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

 

Вывод ур-ия окр-ти.

Если точка С - центр окружности, R - ее радиус, а M - произвольная точка окружности, то из определения окружности следует, что . Последнее равенство есть характеристическое уравнение окружности радиуса R с центром в точке C.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат и точка C(a;b)- центр окружности радиуса R. Пусть М(х;у) - произвольная точка этой окружности. Как известно, расстояние , поэтому уравнение можно записать так:

или

 

 

Вывод ур-ия эллипса

Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы эллипса буквами и . Расстояние между ними - фокальное расстояние , и . Если М(х;у) - произвольная точка эллипса, то по определению эллипса - характеристическое уравнение эллипса.

Введем систему координат: , и . Тогда фокусами будут точки и .

Пусть М(х;у) - любая точка эллипса, тогда

Запишем характеристическое уравнение эллипса в координатной форме:

Преобразуем равенство:

Перенесем в левую часть равенства выражение, содержащее корень:

Так как а>с, то . Пусть , то

- каноническое уравнение эллипса.

 

Вывод ур-ия гиперболы

Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно 2с, а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение

 

где

 

Доказательство. Пусть M(х;у) -- текущая точка гиперболы (рис. 12.9).

 

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть , . В силу последнего неравенства вещественное число b, определяемое формулой существует.

По условию, фокусы -- , . По формуле для случая плоскости получаем

По определению гиперболы

Это уравнение запишем в виде

Обе части возведем в квадрат:

После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству

Опять обе части возведем в квадрат:

Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим

С учетом формулы уравнение принимает вид

Разделим обе части уравнения на и получим уравнение

 

Вывод уравнения параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директри­сой (см. рис. 60). В выбранной системе фокус F имеет координаты , а уравнение директрисы имеет вид х=-р/2.

Пусть М(х;у) — произвольная точка параболы. Соединим точку Μ с F. Проведем отрезок ΜΝ пер­пендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF = ΜΝ. По формуле расстояния между двумя точками на­ходим:

Следовательно,

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

т. е.

Уравнение  называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядка.

 

Бюджетная линия

Если отложить по оси абсцисс кол-во ед-иц 1-го товара,кот.можно купить на имеющиеся ср-ва,а на оси ординат то же самое для другого товара,то прямая линия,соединяющая эти точки,покажет любую комбинацию этих двух товаров,кот. Можно купить на данную сумму денег.

Если сумма ед-иц увел-ся(а товары те же),то прямая будет ││-на данной,но дальше от начала,если сумма денег меньше-то ближе к началу и ││-на.

Обознач: q₁,q₂-кол-во товаров 1и 2 видов.

             p₁,p₂-цены товаров.

Тогда общий расход:

P = p ₁ q ₁ +p ₂ q ₂

Общие св-ва бюджетной линии:

1.изображается ввиде прямой

2.имеет отриц-ый угловой коэф-нт

3.при различных расходуемых суммах бюджетные линии ││-ны

 

Матрицы и их классификация.

Матрица -прямоуг.табл.чисел,имеющая m строк и n столбцов.эти числа наз-ся элементами матрицы.

Квадратная -матрица n-го порядка размера mна n

Диагональная -квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Единичной (обозначается Е иногда I) называется диагональная матрица с единицами на главной диагонали.

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Скалярная- диагональная матрица,у кот.все элементы гл.диагонали равны нулю.

Действия с матрицами

Сложение матриц

Суммой двух матриц одного размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих (т.е. стоящих на одинаковых местах) элементов данных матриц.

Можно складывать матрицы одинаковой размерности

Произведение

Произведением матрицы А на матрицу В наз-я матрица С,элемент которой равен скалярному произведению i-ой строки матрицыА на j-ый столбец матрицыВ.

Можно умножать только те, матрицы у которых число столбцов 1-ой равно числу строк 2-ой

Умножение на число

Произведением матрицы А на число Л называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента данной матрицы на это число.

Транспонирование

-операция, когда строки и столбцы меняются местами.

 

Обратная матрица

Матрица В наз-ся обратной,для матрицы А,если произведение этих матриц коммуникативно и равно един-ой матрице(АВ=ВА=Е).(понятие вводитс только для квадратных матриц)

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.

Алгоритм нахождения:

1.. Убедиться, что определитель матрицыА не равен0. 

2. Транспонировать матр А

3. Вычислить алг.допол.для новой матрицы

4. Сост-ть Аˉ¹ по формуле:

А₁₁А₁₂А₁₃

…………..

А₁ₓА₂ₓА₃ₓ

Фор-ой(4)можно пользоваться,если не делать(2),если делать п.2,то формула:

Определители2и 3 порядков

Определителем 2-го порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:

Определителем третьего порядка наз-ся след-ее выражение:

 

 

Правило «звезды»:

со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположного угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольников, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус.

 

Минор и алгебраическое дополнение.

 

Минором элемента  матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

 

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

 

то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

Свойства определителей.

1. Если какая-то строка (столбец) состоит из одних нулей, то определитель=0

2. Если какой-то ряд определ. Умножить на одно и тоже число, то и величина определителя умножится на это число.

3. А = АТ

Величина определителя при транспонировании не меняется.

4. Если в определителе есть 2 одинаковых ряда, то он = 0

5. Тоже св-во, если ряды пропорциональны

6. Величина определителя НЕ изменяется, если к элементам какой-то строки прибавится элементы др. строки, умноженные на одно и тоже число.

7. Если элементы какого-то ряда умножить на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда, то определитель = 0

 

Теорема Лапласа.

Величина любого определителя числено равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнения.

2 -1 3 2А11+(-1)А12+3А13=

4 2 2 =                              

3 4 5