Теоретико-вероятностный метод расчёта размерных цепей

Сущность метода заключается в том, что требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается не во всех размерных цепях, а у подавляющего их большинства.

При выводе формул (1.3)–(1.9) и др. для расчета размерных цепей методом max–min предполагалось, что в процессе обработки или сборки возможно одновременное сочетание наибольших увеличивающих и наименьших уменьшающих размеров или обратное их сочетание. Оба случая наихудшие в смысле получения точности замыкающего звена, но они мало, вероятны, т. к. отклонение размеров в основном группируется около середины поля допуска. На этом положении и основан теоретико-вероятностный метод расчета размерных цепей.

Отличие этого метода от метода полной взаимозаменяемости в установлении больших по величине допусков на составляющие звенья, что делает изготовление деталей и эксплуатацию машин, которым принадлежат эти звенья, более экономичным. При этом идут на риск получения небольшого процента случаев выхода погрешности замыкающего звена размерной цепи за пределы установленного допуска.

Первая задача. Получая, что погрешности составляющих и замыкающего размера подчиняются закону нормального распределения (рис. 1.3), а границы их рассеяны, (6s) совпадают с границами полей допусков, можно принять:

или        .

 

При этом часть размера замыкающего звена будет выходить за пределы требуемого допуска dА_D замыкающего звена. Величина этой части изделий определяется отношением суммы 2-х заштрихованных площадок ко всей площади кривой рассеяния замыкающего звена (F₁/F). Поэтому уравнение (1.5) решения размерной цепи запишется так:

,                                 (1.11)

где k – коэффициент относительного рассеивания, характеризующий степень отличия распределения погрешностей i-го параметра по сравнению с распределением по закону Гаусса. При нормальном распределении k = 1, при законе равной вероятности k = 1,73, при законе Симпсона k = 1,22;

l – относительное среднее квадратичное отклонение от центра группирования случайной величины

.

Рис.1.3. Поле рассеяния для нормального распределения

 

Значение можно определить по формуле

,

где w – поле рассеяния, w = 6s:

для закона Гаусса ;

для закона равной вероятности ;

для закона Симпсона _.

Коэффициенты k_D и l_D вводится только для размерных цепей, в которых число составляющих звеньев не менее пяти.

Вторая задача. При решении обратной задачи – допуски составляющих звеньев цепи при заданном допуске исходного размера можно рассчитать четырьмя способами:

1. При способе равных допусков принимают, что величины ТА_i и k_i для всех составляющих размеров одинаковы. По заданной величине ТА_Д определяют d_срА_i, удовлетворяющее уравнению (1.13).

Уравнение для определения d_срА_i, записывается в виде

,

 откуда

.                                     (1.12)

Если коэффициент k_i не одинаковый для всех составляющих размеров, то знаменатель в формуле (1.12) имеет вид .

2. При способе назначения допусков одного квалитета точности расчет, в общем, аналогичен решению второй задачи методом полной взаимозаменяемости, но формула (1.11) примет другой вид:

.                    (1.13)

3. Способ пробных расчетов заключается в том, что допуски на составляющие размеры назначают экономически целесообразными для условий предстоящего вида производства с учетом конструктивных требований, опыта эксплуатации, имеющихся подобных механизмов и проверенных для данного производства значений коэффициентов k_i и l_i.

Для повышения точности, надежности, долговечности и обеспечения функциональной взаимозаменяемости машин допуски и предельные размеры исходного и составляющих размеров, применяемые в существующих машинах, следует корректировать в сторону ужесточения с целью создания запаса на износ. После такого расчета размерной цепи проверяют выполнимость равенства (1.13). Если равенство не выполняется, то допуски, а иногда и номинальные значения составляющих размеров вновь корректируют.

4. Способ равного влияния применяют при решении плоскостных и пространственных размерных цепей. Он основан на том, что допускаемое отклонение каждого составляющего размера должно вызывать одинаковое изменение исходного размера.

 

Способ группового подбора при сборке (селективная сборка)

Сущность этого метода заключается в изготовлении деталей со сравнительно широкими технологически выполнимыми допусками, выбираемые из соответствующих стандартов, тщательного измерения и сортировки деталей на равное число групп с более узкими групповыми допусками и сборке их (после комплектования) по одноименным группам. Такая задача обычно возникает при решении конструкторских размерных цепей, когда средняя точность размеров цепи получается излишне высокой и экономически неприменимой.

           

при ТА=ТВ посадка                   при ТА=ТВ посадка

с зазором                                                     с натягом

 

Рис.1.4. Схемы сортировки деталей на группы при способе группового подбора.

Как видно из схем сортировки деталей при селективной сборке (в посадках с зазором и натягом) наибольшие зазоры и натяги уменьшаются, а наименьшие увеличиваются, что делает соединение более стабильным и долговечным. В переходных посадках наибольшие натяги и зазоры уменьшаются, приближаясь с ростом числа групп сортировки к тому натягу или зазору, который соответствует серединам полей допусков деталей.

Для установления числа групп n сортировки деталей необходимо знать требуемые предельные значения групповых зазоров или натягов, которые находят из условия обеспечения наибольшей долговечности соединения, либо допустимую величину группового допуска a или b, определяемую экономической точностью сборки и сортировки деталей, а также величиной возможной погрешности их формы. Погрешности формы не должны превышать группового допуска, иначе одна и та же деталь может попасть в одну или в другую ближайшую группу в зависимости от того, в каком сечении будет измеряться деталь при сортировке.

При сборке деталей для повышения долговечности подвижных соединений необходимо создать наименьший допустимый зазор, а для повышения надежности соединений с натягом – наибольший допустимый натяг.

Подсчитать число n групп можно следующим образом: при заданном значении Т _наим^гр  (для подвижной посадки)

 

;                                 (1.14)

при заданном  (для посадки с натягом)

.                              (1.17)

При заданной величине группового допуска a или b:

; ; ; .

При ТА > ТВ групповой зазор (или натяг) при переходе от одной группы к другой не остается постоянным, следовательно, однородность соединений не обеспечивается. Поэтому, селективную сборку целесообразно применять при ТА = ТВ.

Следует также иметь в виду, что при большом числе групп сортировки групповой допуск будет незначительно отличаться от допуска при меньшем числе групп, а организация контроля и сложность сборки значительно возрастает. Практически n_max= 4 ¸ 5, и лишь в подшипниковой промышленности при сортировке тел качения n достигает 10 и более.

Применение селективной сборки целесообразно в массовом производстве для соединений высокой точности, когда дополнительные затраты на сортировку, маркировку, сборку и хранение деталей по группам окупается высоким качеством соединений. При производстве подшипников качения и сборке ответственных резьбовых соединений с натягом селективная сборка является единственным экономически целесообразным методом обеспечения точности.

Для сокращения объемов незавершенного производства, образующегося при селективной сборке, строят эмпирические кривые распределения размеров соединяемых деталей. Если кривые распределения размеров соединяемых деталей одинаковые, например, соответствует закону Гаусса, то количество деталей в одноименных группах будет одинаковым. Следовательно, только при идентичности кривых распределения сборка деталей одноименных групп устраняет образование незавершенного производства. При законе Гаусса количество деталей в 1-й и 3-й группе равно 15,87 %. Относительное количество деталей 2-й группы равно 68,26 %.

Для осуществления метода групповой взаимозаменяемости необходимо:

1. Допуски на обе детали назначать одинаковыми.

2. Разбивать на одинаковое число групп.

3. Необходимо иметь точный мерительный инструмент, произвести дополнительную работу разбивки по группам и маркировку групп.

4. Необходимо, чтобы распределение случайных величин погрешностей подчинялось одному закону.

5. Размерные цепи должны состоять из небольшого количества звеньев.

 

Способ регулировки

Требуемая точность исходного (замыкающего) размера достигается преднамеренным изменением (регулированием) величины одного из заранее выбранных составляющих размеров, называемого компенсирующим. Роль компенсатора обычно выполняет специальное звено в виде прокладки, регулируемого упора, клина и т. д. При этом по всем остальным размерам цепи детали обрабатывают по расширенным допускам, экономически приемлемым для данных производственных условий.

Номинальный размер компенсирующего звена А_k определяют из уравнения:

.                                                            (1.15)

Значения А_k берут со знаком (+), когда он является увеличивающим размером, и со знаком (-) – в противоположном случае.

Детали, путем изменения положения которых достигается требуемая точность замыкающего размера, называются подвижными компенсаторами.

В качестве неподвижных компенсаторов используются: прокладки, кольца, шайбы, втулки, фланцы и т. д. Для использования неподвижных компенсаторов необходимо определить число их групп.

Поскольку допуски на размеры всех звеньев увеличивают, то допуск замыкающего звена определяется

и количество групп неподвижных компенсаторов

.                                          (1.16)

Толщина каждой сменной прокладки S должна быть меньше допуска исходного размера t < TA_D. В противном случае после установки прокладки может быть получен исходный размер, превышающий по величине наибольший допустимый размер.

Количество неподвижных компенсаторов в каждой группе размеров делается одинаковым, если о характере возможной кривой рассеяния размеров компенсирующего звена ничего не известно.

В тех случаях, когда известен характер кривой распределения размеров, количество неподвижных компенсаторов в каждой группе размеров берется пропорциональным, соответствующим площадям, ограниченным кривой рассеяния и двумя вертикалями, ограничивающими размеры смежных ступеней.

 

Способ пригонки

Сущность метода пригонки заключается в том, что требуемая точность замыкающего звена достигается дополнительной обработкой при сборке деталей по одному из заранее намеченных составляющих размеров цепи. Здесь детали по всем размерам, входящим в цепь, изготовляют с допусками, экономически приемлемыми для данных условий производства.

 Для того чтобы пригонка всегда осуществлялась за счет предварительно выбранного размера, называемого технологическим компенсатором, необходимо по этому размеру оставлять припуск на пригонку, достаточный для компенсации величины превышения исходного размера и, вместе с тем, наименьший для сокращения объема пригоночных работ. Значения dА_к (d – величина компенсации) определяют:

,                                  (1.17)

где Т¢А_D – поле рассеяния исходного размера получающегося при расширенных допусках составляющих размеров (без учета отклонений компенсирующего звена);

Т¢А_i – принятые расширенные технологически выполнимые допуски составляющих звеньев.

Пример: Несовпадение осей (рис.1.5) передней и задней бабок токарного станка 0,05 мм на всей длине станины. практически изготовить невозможно, поэтому применяют способ пригонки. Собирают заднюю бабку, измеряют точно А_D, причем умышленно делают размер увеличенным за счет размера А₃, а затем по результатам измерений снимают лишний слой металла со звена А₃.

т.е. допуск на размеры А₁ и А₂ должны быть по 0,0075 мм, что практически получить невозможно. Поэтому назначаем допуск Т¢А₂ = 0,03 мм; Т¢А₁  = 0,015 мм.

Т¢А_D= 0,03 + 0,015 = 0,045 мм;

.

Рис.1.5. Пример размерной сборочной цепи

Таким образом шпонку можно изготовить (размер А₁) увеличенным на 0,03 мм.

Существенным недостатком метода пригонки является:

1) величину снимаемого припуска, как правило, можно установить только после предварительной сборки деталей цепи;

2) требуются трудоемкие пригоночные работы, выполняемые высококвалифицированными рабочими;

3) увеличивается трудоемкость и цикл сборки;

4) возникают трудности при замене быстроизнашивающихся деталей;

5) применяют, когда другие методы непригодны.

 

Модуль 6. БАЗИРОВАНИЕ И БАЗЫ В МАШИНОСТРОЕНИИ.

База – это поверхность заготовки или сборочной единицы, с помощью которой ее ориентируют при установке для обработки на станке.

Базирование – это придаваемое заготовке (сборочной единице) положение, определяемое базами, относительно выбранной системы координат (ГОСТ 21495-76).

Известно, что всякое твердое тело имеет в пространстве 6 степеней свободы относительно выбранной системы координат: поступательные движения по координатным осям и вращательные движения около каждой из них. Для обеспечения неподвижности заготовки в выбранной системе координат на нее необходимо наложить 6 двусторонних геометрических связей, для создания которых нужен комплект баз. Если заготовка должна иметь определенное количество степеней свободы, то соответствующее число связей снимается. Например, при обточке вала на станке его необходимо закрепить и в то же время обеспечивать вращение. Следовательно, при базировании вал будет лишен только 5 степеней свободы, а шестая степень свободы – вращение вокруг собственной оси – у него остается.

Базой может служить поверхность, сочетание поверхностей, ось, точка, принадлежащие заготовке (рис. 1).

Для придания в частности призматической заготовке соответствующего положения в выбранной системе координат x, y, z следует использовать комплект баз I, II, III, образующих систему координат x', y', z' (рис.2).

Связь заготовки с избранной системой координат символизирует опорная точка. Для лишения 6 степеней свободы заготовке требуется 6 неподвижных опорных точек, расположенных в трех перпендикулярных плоскостях (см. рис. 2).

Требование: точность базирования заготовки зависит от выбранной схемы базирования, т.е. схемы расположения опорных точек на базах заготовки. Опорные точки на схеме базирования изображают условными знаками (рис.3) и нумеруют порядковыми номерами, начиная с базы, на которой располагается наибольшее количество опорных точек, как показано для призматической заготовки (рис. 4).

а

б

в

г

Рис. 1. Элементы заготовок, используемые в качестве баз:

а – база-поверхность; б – база-сочетание; в – база-ось; г – база-точка

Рис. 2. Комплект баз I, II, III и опорные точки 1,2,3,4,5,6 с двусторонними связями призматической заготовки: 1', 2', 3', 4', 5', 6' – проекции опорных точек на координатные плоскости

 

а...................................................... б

Рис. 3. Условное обозначение опорных точек:

а – для боковых поверхностей - профиль; б – для поверхностей в плане (два варианта)

Технологические базы, о которых непосредственно идет речь в данной работе, используются для определения положения заготовки в процессе изготовления или ремонта, они бывают основные и вспомогательные. Основная технологическая база – это база, которая совпадает с конструкторской или измерительной. Например, при обработке шатунных шеек коленвала за технологическую базу принимают поверхность коренных шеек, которая является конструкторской.

Рис. 4. Пример расположения опорных точек на призматической заготовке
в проекциях с комплектом баз I, II, III

Вспомогательная технологическая база – специально созданная поверхность у заготовки для базирования при обработке, которая не участвует в выполнении служебного назначения изготовленной детали заготовки (центровочные отверстия у коленвала, например).

В связи с тем, что базирование связано с частичным или полным лишением степеней свободы заготовки в выбранной системе координат, установлена следующая разновидность баз: установочная, направляющая, двойная направляющая, опорная, двойная опорная. Приведенные примеры выбора комплектов баз с опорными точками для заготовок на рис. 4, 5, 6 позволяют сделать следующее заключение:

Установочная база – база 1 лишает заготовку трех степеней свободы: перемещения вдоль оси Z и поворота вокруг осей X иY за счет опорных точек 1, 2, 3.

Направляющая база – база II лишает заготовку двух степеней свободы: перемещения вдоль оси Y и поворота вокруг оси Z за счет опорных точек 4, 5.

Опорная база – база III лишает заготовку одной степени свободы: перемещения вдоль оси X за счет опорной точки 6.

Двойная направляющая база - база IV (поверхность цилиндра с опорными точками 1, 2, 3, 4) лишает заготовку четырех степеней свободы: перемещения вдоль осей X и Zи поворота вокруг них.

Двойная опорная база – база V лишает заготовку двух степеней свободы: перемещений вдоль двух осей X и Z (рис.5).

При базировании возможны явные и скрытые базы. Явные базы – это реальные поверхности, разметочные риски, точки пересечения рисок у заготовок. Скрытые базы – воображаемые плоскости, оси, точки у заготовок.

Выбор баз при механической обработке заготовки следует проводить с учетом трех основных принципов базирования: совмещение конструкторской, технологической и измерительной баз, постоянство технологических баз, последовательность баз. Только при этом достигается наивысшая точность обработки с минимальной погрешностью базирования и закрепления.

 

 

Рис. 5. Пример расположения опорных точек на цилиндрической заготовке с комплектом баз IV, III, III' (опорная база III' лишает заготовку возможности вращения вокруг оси У)

 

Рис. 6. Пример расположения опорных точек на дисковой заготовке с комплектом баз I, V, III'

На первой установке технологической операции за технологическую базу принимается необработанная поверхность заготовки, так называемая черновая база, которая должна иметь разовое использование. За черновую базу лучше принять поверхности, расположенные параллельно, перпендикулярно или концентрично технологической базе.

На последующих стадиях обработки за базу принимают обработанные поверхности заготовки.

За технологическую установочную базу принимается по возможности большая по длине и меньшая по ширине поверхность заготовки, при необходимости допускается искусственное увеличение базовых поверхностей в виде приливов, надставок.

На схемах установов, обрабатываемых заготовок, применяемых на операционных эскизах, в отличие от теоретических схем базирования для упрощения используют обозначения опор и зажимов, сокращая до минимума изображения опорных точек. Например, при базировании заготовки по плоской поверхности в качестве установочной базы достаточно указать один символ (проекцию) для опорных точек (рис.7).

а.................................................................................. б

Рис. 7. Схемы базирования заготовки по установочной базе – поверхность I: а) теоретическая схема базирования по поверхности I с опорными точками 1, 2, 3; б) схема базирования по поверхности I на операционном эскизе.