Технология моделирования случайных факторов

В практике создания и использования имитационных моделей весьма часто приходится сталкиваться с необходимостью моделирования важнейшего класса факторов - случайных величин (СВ) различных типов. Случайной называют переменную величину, которая в результате испытания принимает то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. При этом под испытанием понимают реализацию некоторого (вполне определенного) комплекса условий. В зависимости от множества возможных значений различают три типа СВ: непрерывные; дискретные; смешанного типа.

Исчерпывающей характеристикой любой СВ является ее закон распределения, который может быть задан в различных формах: функции распределения - для всех типов СВ; плотности вероятности (распределения) - для непрерывных СВ; таблицы или ряда распределения - для дискретных СВ.

Моделирование СВ заключается в определении ("розыгрыше") в нужный по ходу имитации момент времени конкретного значения СВ в соответствии с требуемым (заданным) законом распределения.

Наибольшее распространение получили три метода:

Ø метод обратной функции;

Ø метод исключения (Неймана);

Ø метод композиций.

Метод обратной функции позволяет при моделировании СВ учесть все ее статистические свойства и основан на следующей теореме:

Если непрерывная СВ Y имеет плотность вероятности , то СВ X, определяемая преобразованием ,

имеет равномерный закон распределения на интервале [0;1].

Теорему доказывает следующая цепочка рассуждений, основанная на определении понятия "функция распределения" и условии теоремы:

.

Таким образом, получили равенство , а это и означает, что СВ X распределена равномерно в интервале [0;1]. Напомним, что в общем виде функция распределения равномерно распределенной на интервале  СВ X имеет вид:

Теперь можно найти обратное преобразование функции распределения . Если такое преобразование существует (условием этого является наличие первой производной у функции распределения), алгоритм метода включает всего два шага:

Ø моделирование ПСЧ, равномерно распределенного на интервале [0;1];

Ø подстановка этого ПСЧ в обратную функцию и вычисление значения СВ Y: .

При необходимости эти два шага повторяются столько раз, сколько возможных значений СВ Y требуется получить.

Простота метода обратной функции позволяет сформулировать такой вывод: если обратное преобразование функции распределения СВ, возможные значения которой необходимо получить, существует, следует использовать именно этот метод. К сожалению, круг СВ с функциями распределения, допускающими обратное преобразование, не столь широк, что потребовало разработки иных методов.

Метод исключения (Неймана) позволяет из совокупности равномерно распределенных ПСЧ , по определенным правилам выбрать совокупность значений  с требуемой функцией распределения .

Алгоритм метода:

1. Выполняется усечение исходного распределения таким образом, чтобы область возможных значений СВ Y совпадала с интервалом .

В результате формируется плотность вероятности  такая, что

. Длина интервала  определяется требуемой точностью моделирования значений СВ в рамках конкретного исследования.

2. Генерируется пара ПСЧ R ₁и R ₂, равномерно распределенных на интервале [0;1].

3. Вычисляется пара ПСЧ  и  по формулам: ; , где .

На координатной плоскости пара чисел  определяет точку - например, точку   на рисунке 38. На рисунке 38 обозначены: А - прямоугольник, ограничивающий график плотности распределения моделируемой СВ; D - область прямоугольника А, находящаяся ниже графика ; В - область прямоугольника А, находящаяся выше графика .

4. Если точка  принадлежит области D, считают, что получено первое требуемое значение СВ .

5. Генерируется следующая пара ПСЧ R ₃ и R ₄ равномерно распределенных на интервале [0;1], после пересчета по п. 3 задающих на координатной плоскости вторую точку - .

6. Если точка   принадлежит области В, переходят к моделированию следующей пары ПСЧ  и т.д. до получения необходимого количества ПСЧ.

Рисунок 38 -   Моделирование СВ методом Неймана

 

Очевидно, что в ряде случаев (при попадании изображающих точек в область В соответствующие ПСЧ с нечетными индексами не могут быть включены в требуемую выборку возможных значений моделируемой СВ, причем это будет происходить тем чаще, чем сильнее график  по форме будет "отличаться" от прямоугольника А. Оценить среднее относительное число q "пустых" обращений к генератору ПСЧ можно геометрическим методом, вычислив отношение площадей соответствующих областей (В и А):

;

;

.

Главным достоинством метода Неймана является его универсальность - применимость для генерации СВ, имеющих любую вычислимую или заданную таблично плотность вероятности.

Применение метода композиции основано на теоремах теории вероятностей, доказывающих представимость одной СВ композицией двух или более СВ, имеющих относительно простые, более легко реализуемые законы распределения. Наиболее часто данным методом пользуются для генерации ПСЧ, имеющих нормальное распределение. Согласно центральной предельной теореме распределение СВ Y, задаваемой преобразованием

,

где - равномерно распределенные на интервале [0;1] ПСЧ, при росте k неограниченно приближается к нормальному распределению со стандартными параметрами . Последнее обстоятельство легко подтверждается следующим образом. Введем СВ Z и найдем параметры ее распределения, используя соответствующие теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы СВ:

;

;

.

Напомним, что при равномерном распределении в интервале [0;1] СВ имеет параметры: ; .

Очевидно, что , и, как любая центрированно-нормированная СВ, имеет стандартные параметры.

Как правило, берут  и считают, что для подавляющего числа практических задач обеспечивается должная точность вычислений. Если же к точности имитации предъявляются особые требования, можно улучшить качество моделирования СВ за счет введения нелинейной поправки:

,

где - возможное значение СВ Y, полученное в результате сложения, центрирования и нормирования k равномерно распределенных ПСЧ .

В целом можно сделать вывод о том, что метод композиции применим и дает хорошие результаты тогда, когда из теории вероятностей известно, композиция каких легко моделируемых СВ позволяет получить СВ с требуемым законом распределения.

Дискретные случайные величины (ДСВ) достаточно часто используются при моделировании систем. Основными методами генерации возможных значений ДСВ являются:

Ø метод последовательных сравнений;

Ø метод интерпретации.

Алгоритм метода последовательных сравнений практически совпадает с ранее рассмотренным алгоритмом моделирования полной группы несовместных случайных событий, если считать номер события номером возможного значения ДСВ, а вероятность наступления события - вероятностью принятия ДСВ этого возможного значения. На рисунке 39 показана схема определения номера возможного значения ДСВ, полученного на очередном шаге.

Из анализа ситуации, показанной на рисунка 39 для ПСЧ R, "попавшего" в интервал , следует сделать вывод, что ДСВ приняла свое второе возможное значение; а для ПСЧ  - что ДСВ приняла свое -e значение и т.д. Алгоритм последовательных сравнений можно улучшить (ускорить) за счет применения методов оптимизации перебора - дихотомии (метода половинного деления); перебора с предварительным ранжированием вероятностей возможных значений по убыванию и т.п.

 

 

Рисунок 39 - Моделирование ДСВ методом последовательных сравнений

 

Метод интерпретации основан на использовании модельных аналогий с сущностью физических явлений, описываемых моделируемыми законами распределения.На практике метод чаще всего используют для моделирования биномиального закона распределения, описывающего число успехов в п независимых опытах с вероятностью успеха в каждом испытании р и вероятностью неудачи . Алгоритм метода для этого случая весьма прост:

Ø моделируют n равномерно распределенных на интервале [0;1] ПСЧ;

Ø подсчитывают число т тех из ПСЧ, которые меньше р;

Ø это число т и считают возможным значением моделируемой ДСВ, подчиненной биномиальному закону распределения.

Помимо перечисленных, существуют и другие методы моделирования ДСВ, основанные на специальных свойствах моделируемых распределений или на связи между распределениями.

Случайным вектором (системой случайных величин) называют совокупность случайных величин, совместно характеризующих какое-либо случайное явление:где  – СВ с теми или иными законами распределения . Исчерпывающей характеристикой случайного вектора является совместная многомерная функция распределения его компонент   или соответствующая ему совместная многомерная плотность вероятности . Проще всего моделировать случайный вектор с независимыми компонентами, для которого    справедливо, т.е. каждую из компонент случайного вектора можно моделировать независимо от других в соответствии с ее "собственной" плотностью вероятности .

В случае, когда компоненты случайного вектора статистически зависимы, необходимо использовать специальные методы: метод условных распределений; метод исключения (Неймана); метод линейных преобразований.

Метод условных распределений основан на рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для каждой из компонент случайного вектора X с многомерной совместной плотностью вероятности . Для плотности распределения случайного вектора X можно записать: ,

где  - плотность распределения СВ ; - плотность условного распределения СВ X_k при условии: ; ; …; .

Для получения указанных плотностей необходимо провести интегрирование совместной плотности распределения случайного вектора в соответствующих пределах:

Порядок моделирования:

Ø моделировать значение   СВ   по закону ;

Ø моделировать значение  СВ   по закону ;

Ø...;

Ø моделировать значение   СВ  по закону .

Тогда вектор  и есть реализация искомого случайного вектора X.

Метод условных распределений (как и метод обратной функции для скалярной СВ) позволяет учесть все статистические свойства случайного вектора. Поэтому справедлив вывод: если имеется возможность получить условные плотности распределения , следует пользоваться именно этим методом.

Метод исключения (Неймана) является обобщениемуже рассмотренного для СВ метода Неймана на случай п переменных. Предполагается, что все компоненты случайного вектора распределены в конечных интервалах

, .

Если это не так, необходимо произвести усечение плотности распределения для выполнения данного условия.

Алгоритм метода:

1. Генерируются  ПСЧ: ; , распределенных, соответственно, на интервалах , ,…, ; ;

.

2. Если выполняется условие: , то вектор  и есть искомая реализация случайного вектора.

3. Если данное условие не выполняется, переходят к первому пункту и т.д. Рисунок 40 содержит иллюстрацию данного алгоритма для двумерного случая. Возврат к п. 1 после "неудачного" моделирования п ПСЧ происходит тогда, когда точка Q окажется выше поверхности, представляющей двумерную плотность вероятности .Для случая, представленного на рисунке, в качестве (очередной) реализации двумерного случайного вектора следует взять пару ПСЧ .

 

Рисунок 40 - Моделирование двумерного случайного вектора методом Неймана.

Среднюю относительную частоту "неудач" можно вычислить геометрическим способом, взяв отношение объемов соответствующих фигур. Для одномерного случая, основным достоинством метода Неймана является его универсальность. Однако для плотностей вероятностей, поверхности которых имеют острые пики, достаточно часто будут встречаться "пустые" прогоны, когда очередные n ПСЧ бракуются. Этот недостаток тем существеннее, чем больше размерность моделируемого вектора (n) и длиннее требуемая выборка реализаций случайного вектора. На практике такие ситуации встречаются не слишком часто, поэтому метод исключений и имеет столь широкое распространение.

Метод линейных преобразований является одним из наиболее распространенных так называемых корреляционных методов, применяемых в случаях, когда при моделировании непрерывного n -мерного случайного вектора достаточно обеспечить лишь требуемые значения элементов корреляционной матрицы этого вектора (это особенно важно для случая нормального распределения, для которого выполнение названного требования означает выполнение достаточного условия полного статистического соответствия теоретического и моделируемого распределений). Идея метода заключается в линейном преобразовании случайного n -мерного вектора Y с независимыми (чаще всего - нормально распределенными) компонентами в случайный вектор X с требуемыми корреляционной матрицей и вектором математических ожиданий компонент.

Математическая постановка задачи выглядит следующим образом.

Дано: корреляционная матрица и математическое ожидание вектора X

;

.

Требуется: найти такую матрицу В, которая позволяла бы в результате преобразования   ,                                                       (1)

где Y - n -мерный вектор с независимыми нормально распределенными компонентами со стандартными параметрами, получить вектор X с требуемыми характеристиками.

Будем искать матрицу  в виде нижней треугольной матрицы, все элементы которой, расположенные выше главной диагонали, равны 0. Перейдем от матричной записи к системе алгебраических уравнений:

(2)

Поскольку компоненты вектора Y независимы и имеют стандартные параметры, справедливо выражение:

Почленно перемножив сами на себя и между собой соответственно левые и правые части уравнений системы (2) и взяв от результатов перемножения математическое ожидание, получим систему уравнений вида:

Как легко увидеть, в левых частях полученной системы уравнений - элементы заданной корреляционной матрицы Q а в правых - элементы искомой матрицы B.

Последовательно решая эту систему, получаем формулы для расчета элементов :

; ; ;…

Формула для расчета любого элемента матрицы преобразования В имеет вид:         .

Таким образом, алгоритм метода линейных преобразований весьма прост:

Ø по заданной корреляционной матрице рассчитывают значения коэффициентов матрицы преобразования В;

Ø генерируют, одну реализацию вектора Y, компоненты которого независимы и распределены нормально со стандартными параметрами;

Ø полученный вектор подставляют в выражение (1) и определяют очередную реализацию вектора X, имеющего заданные корреляционную матрицу и вектор математических ожиданий компонент;

Ø при необходимости два предыдущих шага алгоритма повторяют требуемое число раз (до получения нужного количества реализаций вектора X).

Как правило, все современные программные средства, применяемые для реализации тех или иных имитационных моделей, содержат встроенные генераторы равномерно распределенных ПСЧ, что позволяет исследователю легко моделировать любые случайные факторы.