Системы линейных уравнений и методы их решения

Системы линейных уравнений

1. Постановка задачи. Систему уравнений вида

          (1)

мы будем называть системой т линейных уравнений с п неизвестными . Коэффициенты этих уравнений мы будем записывать в виде матрицы

называемой матрицей системы. Числа, стоящие в правых частях уравнений, образуют столбец b, называемый столбцом свободных членов.

Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и в этой главе обозначается А*:

Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной.

Совокупность п чисел  называется решением системы (1), если каждое уравнение системы обращается в числовое равенство после подстановки в него чисел  вместо соответствующих неизвестных .

Пользуясь определением линейных операций со столбцами, мы можем записать систему (1) в виде

где  - столбцы матрицы системы, а B - столбец свободных членов. Отсюда сразу вытекает следующая интерпретация решения системы линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений — это совокупность коэффициентов, с которыми столбец свободных членов раскладывается по столбцам матрицы системы.

Используя умножение матриц, можно записать систему (1) еще короче:

Системы, имеющие решения, называются совместными, а не имеющие решений — несовместными.

Если столбцы матрицы системы линейно независимы, то система не может иметь двух различных решений: она или несовместна, или имеет единственное решение.

Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы (1) соответствуют преобразования системы уравнений, не меняющие множества ее решений.

2. Правило Крамера. Пусть дана система из п уравнений с п неизвестными

               (2)

Если детерминант матрицы системы отличен от нуля, то система имеет решение, и притом только одно.

Если система:

а) не имеет ни одного решения, то она называется несовместной;

б) имеет решение - совместной,

в) если совместная система имеет бесконечное множество решений, то она называется неопределенной,

г) если совместная система имеет единственное решение, то она называется определенной

Правило Крамера: Если определитель системы (2) отличен от нуля, т.е. , то система уравнений имеет единственное решение, вычисляемое по формуле

 при

Например

Решить систему линейных уравнений

Решение

Вычислим определители системы

Вспомогательные определители системы

Следовательно, по правилу Крамера

Ответ: