Линейная зависимость векторов. Базис.

1. Линейная зависимость векторов. Линейные комбинации обладают следующим очевидным свойством: если векторы  коллинеарны, то любая их линейная комбинация им коллинеарна. Если же они компланарны, то любая их линейная комбинация им компланарна. Это сразу следует из того, что вектор k а коллинеарен а, а сумма векторов компланарна слагаемым и коллинеарна им, если они коллинеарны.

Вектор b раскладывается по векторам , если он представим как их линейная комбинация: найдутся такие коэффициенты, что . Вполне может случиться, что какой-то вектор раскладывается по данной системе векторов, и при этом коэффициенты разложения определены неоднозначно.

Нулевой вектор раскладывается по любой системе векторов: мы получим нулевой вектор, если возьмем линейную комбинацию этих векторов с нулевыми коэффициентами. Такая линейная комбинация называется тривиальной.

Система векторов  называется линейно независимой, если нулевой вектор раскладывается по ней единственным образом.

Система векторов   линейно зависима, если нулевой вектор раскладывается по ней не единственным образом, т. е. если найдутся такие коэффициенты при которых , но не все

Рассмотрим свойства линейно-зависимых и линейно-независимых систем векторов.

• Если среди векторов , есть нулевой, то такая система линейно зависима.

•  Система, содержащая один вектор, линейно зависима, если он нулевой.

• Если к линейно зависимой системе  добавить какие-то векторы , то полученная система векторов будет линейно зависимой.

• Если в системе векторов какая-то часть линейно зависима, то вся система обязательно линейно зависима.

• Любая часть линейно независимой системы линейно независима.

Если вектор х раскладывается по системе векторов , то это разложение единственно тогда и только тогда, когда система векторов линейно независима. Система из k > 1 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается по остальным.

Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда это — нулевой вектор. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны. Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны. Любые четыре вектора линейно зависимы.

2. Базис. Базисом в векторном пространстве называется упорядоченная линейно независимая система векторов такая, что любой вектор этого пространства по ней раскладывается. В нулевом пространстве базиса не существует.

В одномерном пространстве (на прямой линии) базис состоит из одного ненулевого вектора. В двумерном пространстве (на плоскости) базис - упорядоченная пара неколлинеарных векторов. В трехмерном пространстве базис - упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Требование упорядоченности означает, что, например, в случае плоскости a, b и b, a — два разных базиса.

Так как векторы базиса линейно независимы, коэффициенты разложения по базису для каждого вектора пространства определены однозначно. Они называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

Базис называется ортонормированным, если все его векторы попарно ортогональны (перпендикулярны) и по длине равны 1

Декартова система координат с ортонормированным базисом называется декартовой прямоугольной системой координат.