Элементы аналитической геометрии.

 

Тема 6.

Элементы аналитической геометрии. Простейшие задачи аналитической геометрии (расстояние между точками, деление отрезка в заданном отношении, вычисление площадей плоских фигур). Уравнения прямых линий на плоскости. Уравнение плоскости и прямой линии в пространстве. Уравнения окружности эллипса, гиперболы и параболы.

 

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

ВЕКТОРЫ. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

 

1. Определение вектора. Понятие вектора также известно из школьного курса, но лучше напомнить основные факты, с ним связанные. Пару точек мы называем упорядоченной, если про эти точки известно, какая из них первая, а какая вторая.

Отрезок, концы которого упорядочены, называется направленным отрезком или вектором. Первый из его концов называется началом, второй концом вектора. К векторам относится и нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.

Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В. Иногда вектор обозначают одной буквой а.

 

 - рис 1 Коллинеарные векторы АВ и CD

Направление вектора на рисунке принято обозначать стрелкой, над буквенным обозначением вектора тоже ставится стрелка, например   (при этом буква, обозначающая начало, обязательно пишется первой). В книгах буквы, обозначающие векторы, набираются полужирным шрифтом, например а. Нулевой вектор обозначается 0.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (а также модулем или абсолютной величиной). Длина вектора обозначается |а| или \АВ\.

Векторы называются коллинеарнымщ если существует такая прямая, которой они параллельны. Векторы компланарны, если существует плоскость, которой они параллельны. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления. Длина его, разумеется, равна нулю.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

Операции над векторами

Пусть даны два вектора а и b. Построим равные им векторы АВ и DC. Тогда вектор АС называется суммой векторов а и b и обозначается а + b.

Произведением вектора а на вещественное число k называется вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:

а)       | b | = k |а|;

б)      b коллинеарен а;

в)      b и а направлены одинаково, если k > 0, и противоположно, если k < 0.

 

Произведение вектора а на число k обозначается k a. Если вектор АВ умножить на действительное число С, то получим новый вектор DE, который коллинеарен вектору АВ, длина его в С раз больше, и при С > 0 вектор DE направлен в ту же сторонe, а при С < 0 в противоположную вектору АВ

В курсе средней школы были выведены основные свойства линейных операций. Для любых векторов a, b и с и любых чисел k и l выполнено:

1)   a + b = b + а (сложение коммутативно),

2)   (а + b) + с — a + (b + с) (сложение ассоциативно)

3)  а + 0 = а;

4)  вектор (-1 а) противоположный для а: а + (-1 а) = 0;

5)   (k l)а = k (l а);

6)   (k + l)а = k a + l а;

7)   k (а + b) = k а + k b;

8)   1 a = a.

Вектор (-1)а обозначается -а. Разностью векторов а и b называется сумма векторов а и - b. Она обозначается а - b. В этом смысле вычитание - операция, сопоставляющая паре векторов разность первого и второго, - есть операция, обратная сложению, и мы не считаем его отдельной операцией.

 

 

Точно так же мы не выделяем деление вектора на число а, так как его можно определить как умножение на 1/ a.