Точечные модели и модели с распределенными параметрами.

Лекция 1

Название курса – “Математическое моделирование и применение ЭВМ, или ПК, в химической технологии”.

Объектами изучения данного курса являются процессы и аппараты химической технологии.

Процессы химической технологии представляют собой физико-химические системы, которые характеризуются сложным взаимодействием фаз и компонентов. В ходе протекания технологических процессов в каждой точке фаз и на границе их раздела происходит перенос импульса, энергии или массы. Процессы химической технологии протекают в аппаратах, имеющих конкретные геометрические характеристики, которые в свою очередь, оказывают значимое влияние на течение процесса.

Для изучения различных физико-химических процессов, проверки научных гипотез и получения экспериментального материала издавна использовалось моделирование реальных объектов.

Моделированием называют исследование объекта путем создания и изучения его модели.

Моделирование является методом изучения объектов, при котором вместо объекта–оригинала исследование проводят на модели, а результаты исследования распространяют на объект–оригинал.

Различают два основных типа моделей – физические модели и математические модели. Соответственно, различают два метода моделирования: физическое и математическое.

Физическая модель чаще всего представляет собой копию объекта–оригинала, сохраняющую физическую природу протекающих в исследуемом объекте процессов и выполненную в увеличенном или уменьшенном масштабе.

При применении метода физического моделирования должны выполняться два основных требования:

1. Эксперимент, проводимый на модели должен быть проще, экономичнее или безопаснее, эксперимента, проводимого на объекте–оригинале.

2. Должны быть известны закономерности, связывающие модель и объект–оригинал.

Для объектов химической технологии такими закономерностями являются определённые соотношения, называемые критериями подобия: критерии Рейнольдса, Прандтля, Архимеда и т.д.

Согласно теории подобия необходимое физическое подобие модели и объекта обеспечивается при равенстве всех однотипных определяющих критериев подобия.

Если количество рассматриваемых при изучении объекта явлений велико, то соответственно увеличивается необходимое количество определяющих критериев подобия. В таком случае бывает практически невозможно обеспечить равенство значений всех определяющих критериев модели и объекта исследования, т.е. практически невозможно достичь физического подобия.

Отсюда следует, что возможности физического моделирования, основанного на теории подобия, существенно ограничены сложностью изучаемого объекта.

Для объектов, в которых физическое моделирование ограничено трудностями исследования, опасностью экспериментов, техническими сложностями или дороговизной создания физических моделей, используют математическое моделирование.

Математическая модель описывает процессы, происходящие в реальном объекте в символьном виде, т.е. в виде математических выражений.

Изучение объекта методом математического моделирования заключается в решении системы уравнений математического описания объекта.

Существуют различные виды математических моделей, которые можно условно классифицировать по следующим признакам:

1. По характеру временного описания:

Непрерывные и дискретные.

Непрерывные модели позволяют получить характеристики объекта в каждый текущий момент времени;

дискретные модели позволяют получить характеристики объекта в фиксированной последовательности промежутков времени.

2. По характеру изменения параметров:

Статические и динамические.

Статические модели описывают объект, функционирующий в стационарном режиме;

динамические модели описывают объект в переходном периоде функционирования.

5. По назначению:

оптимизационные – с целью управления объектом;

игровые – с целью описания конфликтных ситуаций;

имитационные – с целью описания сложных систем.

6. По виду математических выражений:

аналитические и статистические:

аналитические модели имеют вид алгебраических, трансцендентных, дифференциальных уравнений и т.п.;

статистические модели получают при экспериментальном исследовании объекта и статистической обработке полученных данных для случаев неопределенности причинно–следственных связей между переменными объекта.

При построении математических моделей объекты моделирования рассматриваются в виде системы, т.е. совокупности или определенного множества отдельных элементов, взаимосвязанных между собой и функционирующих как единое целое. При этом надо иметь в виду, что система в целом может обладать свойствами, отличными от свойств элементов множества, составляющих систему. Такой подход к моделированию называют системным подходом.

Математическое моделирование включает несколько взаимосвязанных этапов.

Реализация алгоритма на ПК.

Этот этап предусматривает разработку программного обеспечения; компиляцию программы; проверку адекватности модели и, в зависимости от цели исследования, проведение численного эксперимента по модели.

Проверка адекватности, т.е. оценка достигнутого соответствия модели изучаемому объекту, необходима по той причине, что любая модель является лишь приближенным отображением реального объекта вследствие упрощающих допущений, принимаемых на этапах создания модели и построения вычислительного алгоритма. Проверка адекватности осуществляется сравнением результатов расчета с надежными результатами эксперимента на изучаемом объекте при одинаковых условиях.

Проведение численного эксперимента позволяет провести детальное исследование объекта в рамках созданной математической модели за счет реализации большего числа вариантов и определения большего числа показателей. Численный эксперимент позволяет прогнозировать поведение объекта в тех или иных условиях функционирования; дает возможность преобразовывать программу моделирования данного объекта для изучения другого объекта со сходным математическим описанием.

6. Анализ результатов.

Построение модели

Запишем уравнения констант скоростей стадий реакции:

               

Система дифференциальных уравнений изменения концентраций компонентов (из предыдущей задачи) имеет вид:

                      

В соответствии с постановкой задачи, уравнение изменения температуры реакционной смеси примет вид:

                                    ,

или после соответствующей подстановки:

                

Лекция 1

Название курса – “Математическое моделирование и применение ЭВМ, или ПК, в химической технологии”.

Объектами изучения данного курса являются процессы и аппараты химической технологии.

Процессы химической технологии представляют собой физико-химические системы, которые характеризуются сложным взаимодействием фаз и компонентов. В ходе протекания технологических процессов в каждой точке фаз и на границе их раздела происходит перенос импульса, энергии или массы. Процессы химической технологии протекают в аппаратах, имеющих конкретные геометрические характеристики, которые в свою очередь, оказывают значимое влияние на течение процесса.

Для изучения различных физико-химических процессов, проверки научных гипотез и получения экспериментального материала издавна использовалось моделирование реальных объектов.

Моделированием называют исследование объекта путем создания и изучения его модели.

Моделирование является методом изучения объектов, при котором вместо объекта–оригинала исследование проводят на модели, а результаты исследования распространяют на объект–оригинал.

Различают два основных типа моделей – физические модели и математические модели. Соответственно, различают два метода моделирования: физическое и математическое.

Физическая модель чаще всего представляет собой копию объекта–оригинала, сохраняющую физическую природу протекающих в исследуемом объекте процессов и выполненную в увеличенном или уменьшенном масштабе.

При применении метода физического моделирования должны выполняться два основных требования:

1. Эксперимент, проводимый на модели должен быть проще, экономичнее или безопаснее, эксперимента, проводимого на объекте–оригинале.

2. Должны быть известны закономерности, связывающие модель и объект–оригинал.

Для объектов химической технологии такими закономерностями являются определённые соотношения, называемые критериями подобия: критерии Рейнольдса, Прандтля, Архимеда и т.д.

Согласно теории подобия необходимое физическое подобие модели и объекта обеспечивается при равенстве всех однотипных определяющих критериев подобия.

Если количество рассматриваемых при изучении объекта явлений велико, то соответственно увеличивается необходимое количество определяющих критериев подобия. В таком случае бывает практически невозможно обеспечить равенство значений всех определяющих критериев модели и объекта исследования, т.е. практически невозможно достичь физического подобия.

Отсюда следует, что возможности физического моделирования, основанного на теории подобия, существенно ограничены сложностью изучаемого объекта.

Для объектов, в которых физическое моделирование ограничено трудностями исследования, опасностью экспериментов, техническими сложностями или дороговизной создания физических моделей, используют математическое моделирование.

Математическая модель описывает процессы, происходящие в реальном объекте в символьном виде, т.е. в виде математических выражений.

Изучение объекта методом математического моделирования заключается в решении системы уравнений математического описания объекта.

Существуют различные виды математических моделей, которые можно условно классифицировать по следующим признакам:

1. По характеру временного описания:

Непрерывные и дискретные.

Непрерывные модели позволяют получить характеристики объекта в каждый текущий момент времени;

дискретные модели позволяют получить характеристики объекта в фиксированной последовательности промежутков времени.

2. По характеру изменения параметров:

точечные модели и модели с распределенными параметрами.

В точечных моделях параметры меняются только по одной переменной, например, во времени или по координате. Такие модели имеют вид обыкновенных дифференциальных уравнений;

в моделях с распределенными параметрами параметры меняются по двум и более переменным. Такие модели имеют вид уравнений в частных производных.

3. По характеру определенности прогноза: