Основное уравнение нагрева и вытекающие из него соотношения

Рассмотрим процесс нагревания и охлаждения проводов на примере неизолированного провода.

Примем следующее обозначения:

I - ток в проводе, А;

R - активное сопротивления провода, Ом;

А - боковая поверхность провода, см ²;

- коэффициент теплопередачи, ;

G -масса провода, г;

С₀ -удельная теплоёмкость материала провода, ;

θ и θ_ср -температура провода и окружающей среды, °С;

- перегрев провода, °С;

t -время нагревания, с.

Уравнения теплового баланса провода имеет вид:

                                                 (10.1)

Левая часть уравнения представляет тепло, выделяемое в проводе за время dt при прохождении тока I; первое слагаемое правой части - тепло, отведённое в окружающую среду за то же время, второе - тепло, остающееся в проводе и увеличивающее его перегрев на dv.

При достижении теплового равновесия, когда выделенное в проводе тепло полностью отводится в окружающую среду, перегрев не изменяется, т.е. dν=0, а

Следовательно:

Откуда

                                                                        (10.2)

Разделим обе части уравнения (10.1) на А:

                                                        (10.3)

рассмотрим дробь:

видим, что она постоянна и имеет размерность времени. Введём обозначение:

                                                                           (10.4)

Величину Т называют постоянной времени нагрева.

Подставляя (10.2) и (10.4) в (10.3) получим:

Это линейное дифференциальное уравнение с коэффициентами. Разделяем переменные и интегрируем:

где С - постоянная интегрирования.

Определим её из начальных условий. При t=0

где ν ₀ -начальный перегрев.

 

 

 

 

 

                                              (10.5)

Первое слагаемое правой части представляет собой возрастающую экспоненту, характеризующую закон нагревания провода от температуры окружающей среды до установившейся температуры, при которой:

Второе слагаемое характеризует охлаждение провода от начального перегрева   ν₀дотемпературы окружающей среды   (см. рис. 10.1.)

Зависимости, характеризующие режим нагревания провода

Рисунок 10.1

Кривая 3 при отчёте от верхний оси t' определяет перегрев провода в

каждый данный момент времени, а от нижней t" - температуру- θ провода в °С.

Если нагрев начинается тогда, когда температура провода равна температуре среды (ν₀=0). Уравнение (10.5) упрощается и принимает вид:

Задаваясь значениями t, равными Т, 2Т, ЗТ, 4Т, получим значения ν соответственно (см. рис. 10.2)

0,63; 0,86; 0,95; 0,98ν­_уст

Зависимость ν (t) при ν₀=0

Рисунок 10.2.

Ограничиваясь для практических расчётов точностью 95%, можно считать процесс нагревания законченным по истечении времени ЗТ. Для проводов ВЛ можно принять Т 10 мин, т.е. они нагреваются до установившейся температуры в течение 0,5 часа. Для двигателей Т=1,5-2ч., а для силовых трансформаторов Т=3ч. Следовательно их нагревание до установившейся температуры продолжается соответственно 1,5-6 или 9 часов.