Аналитическое описание дискретных сигналов

 

Реально, при цифровой фильтрации, непрерывный сигнал s(t) описывается на интервале времени (0, Т ₀) совокупностью N отсчетов, следующих через интервал T _д, т.е. N = T ₀/T_д. Такую выборку можно считать одним периодом периодического сигнала и для ее спектрального описания применить ряд Фурье. Используем модель импульсного сигнала на периоде и представим импульсный периодический сигнал в виде ряда Фурье

,                                                 

где ; .

Подставляя выражение для s _и (t), далее находим

.                        

              

Это и есть прямое дискретное преобразование Фурье (прямое ДПФ) (спектр дискретного сигнала).

Соответствующее выражение для дискретного сигнала имеет следующий вид

.                              

Это обратное ДПФ. В этой формуле сумма конечна, так как дискретный сигнал содержит конечное (N) число гармоник.  Период сигнала равен Т ₀= NТ _Д.

Для восстановления действительного сигнала необходимо вычислить конечную сумму:

,

где - фазовый угол соответствующей спектральной составляющей ряда Фурье.

При спектральном анализе для реализации алгоритма ДПФ на ЭВМ используют быстрое преобразование Фурье (БПФ), позволяющее во многих случаях производить обработку сигналов в реальном масштабе времени.

Формула соответствующего дискретного преобразования Лапласа (ДПЛ) имеет вид:

            .                                                       

Во временной области такому изображению соответствует дискретный сигнал , соответствующий одному периоду (суммирование одного периода в ряде обратного преобразования Фурье).

Рассмотренные функциональные преобразования дискретного сигнала полезны с точки зрения установления связи с соответствующими преобразованиями непрерывных сигналов, но они достаточно сложны. Можно функциональные преобразования дискретных сигналов упростить, соответствующим выбором формы ряда.

Например, для функционального преобразования использовать степенной ряд комплексной переменной   z, т.е. ряд следующего вида

                                

Это Z -преобразование дискретного сигнала. Обозначим далее .

Очевидно, степенной ряд должен быть сходящимся, чтобы существовало

Z -преобразование. Для конечного числа отсчетов сумма будет конечной и существование

Z -преобразования будет обеспечиваться автоматически.

Обратное Z -преобразование дается следующей формулой

                                                         

Составлены таблицы Z -преобразований.  Сравнивая формулы ДПЛ и Z -преобразования, находим, что они будут совпадать при условии , т.е. когда Z -преобразование определяется на единичном круге. Поэтому часто Z -преобразование рассматривают, как переход от переменной «p» к переменной Z = е ^рТ Д в дискретном преобразовании Лапласа. При этом p -плоскость переходит в Z -плоскость, как показано на рис. 6.3. Левая

р -полуплоскость переходит в круг единичного радиуса, а правая р-полуплоскость во всю остальную часть Z -плоскости. Действительно, используя формулу Эйлера, можно получить

.                    

 

 

                                                                  Рис. 6.3

Если (устойчивые системы), то Z лежит внутри единичного круга. Именно поэтому единичный круг имеет важное значение при исследовании дискретных ЭЦ.

         Рассмотрим для примера  решения нескольких тестовых заданий.

ТЗ№1.

Комплексная переменная Z-преобразования связана с переменной преобразования Лапласа зависимостью ….

а) z= 1/ e ^{p Т}_Д, б ) lnz= pT_Д, в) z= e ^pT _Д,     г) z= e ^pT _Д, д) z= pT_Д,

Решение основано на знании соотношения между переменными преобразования Лапласа и Z -преобразования z=е ^{рТ Д}. Тогда правильный ответ будет б) и г).

ТЗ№2.

Точка р-плоскости p_i= … соответствует точке Z-плоскости z_i=  , если интервал дискретизации Т_д=1с.

а) j, б) 0+ j  , в) 1+ j, г) , д) 0+ j , е) -  Решение основано на знании двух соотношений: р=σ+jω и . Тогда из второго равенства для точки на Z-плоскости z_i=  находим и . Из этих уравнений находим  и ; , при условии Т_Д=1с. Отсюда легко получить, что σ = 0, а ω = , т.е. р _i = 0+ j . Таким образом, правильный ответ будет  д). Конечно, можно, найдя условие σ = 0, сразу для рассмотрения оставить два конкурирующих ответа б) и д), так как только у них σ = 0.