Спектральное представление непериодических сигналов

Спектральный анализ периодических сигналов с помощью ряда Фурье может быть обобщен на случай непериодических сигналов. Среди непериодических сигналов наибольшее использование находят финитные сигналы, т.е. сигналы, ограниченные по длительности, например, от 0 до t₁ (см. рис. 2.1,а).

     Будем рассматривать абсолютно интегрируемые сигналы , т.е. сигналы с ограниченной энергией. Если дополнить финитный сигнал, т.е. сигнал, ограниченный по длительности, таким же, но следующим через интервал, равный  ± n × T (T -период), то получим рассмотренный выше периодический сигнал (см. рис. 2.1,б).

    

                                                      Рис. 2.1

Очевидно, исходный финитный сигнал отличается от периодического сигнала лишь тем, что у него период стремится к ¥. Тогда получим:

.

     Если , то спектральные составляющие располагаются так плотно, что при этом спектр  становится сплошным; при этом расстояния между спектральными составляющими , а . В результате получим спектральную плотность сигнала (сумма в формуле (15.5) перейдет в интеграл):

                       ,                                          (2.1)

которая  называется прямым преобразованием Фурье.

            - это обратное преобразование Фурье.

       Таким образом, непериодический сигнал и его спектральная плотность связаны взаимнооднозначным прямым и обратным преобразованиями Фурье.

     Из сравнения прямого преобразования Фурье с рядом Фурье видно, что и там, и там сигнал представляется в виде суммы гармоник, но в отличие от ряда Фурье здесь сумма бесконечно малых гармоник .  Если рассмотреть какую-либо k -тую гармонику, то амплитуда этой гармоники будет равна , т.е. спектральная плотность имеет смысл плотности амплитуды спектра и измеряется . Таким образом, спектральная плотность показывает распределение амплитуд по частоте.Другой важный вывод: спектральная плотность непериодического сигнала и огибающая спектра периодического сигнала, полученного из непериодического путем его повторения через период , совпадают по форме и отличаются только масштабом. Это позволяет вычислять спектр периодического сигнала, рассчитывая его  огибающую с помощью прямого преобразования Фурье, что гораздо легче, чем вычисление коэффициентов ряда Фурье.

     Так как интегрирование – линейная операция, то преобразования Фурье обладают свойствами линейности (это линейный функциональный оператор). Введем обозначение: F (×××)-прямое преобразование Фурье; F ^-1(×××)-обратное преобразование Фурье.

Если , то ,                                        (2.2)

где , k_i – числовой коэффициент. Справедливо и обратное утверждение.

Рассмотрим основные свойства  преобразования Фурье, которые формулируются как теоремы.

Теорема о сдвиге.

     Если дан смещенный во времени сигнал  (запаздывание на t₀), то Фурье – преобразование от этого сигнала будет:

                          , где .        (2.3)

Таким образом, смещенный сигнал имеет спектральную плотность, отличающуюся лишь спектральной плотностью фаз.

Теорема о свертке.

     Если заданы два сигнала  и известны их спектральные плотности , то Фурье-преобразование произведения сигналов равно:

.                                           (2.4)

.                                                        (2.5)

Интегралы в этих выражениях называются свертками.