Числа в форме с плавающей точкой

Недостатки проведения вычислений с числами с фиксированной точкой привели к необходимости использования чисел с плавающей точкой. В форме представления с плавающей точкой число изображается в виде двух групп цифр: мантисса, порядок.

Абсолютная величина мантиссы должна быть меньше единицы, а порядок - целым числом. В общем виде число представляется как N = ± m * S ^p где, m –мантисса числа N (дробная часть), S – основание системы счисления, P – целое число (порядок числа, показывает положение точки в числе).

Все числа с плавающей точкой хранятся в машине в так называемом нормализованном виде, при котором старший разряд мантиссы больше 0. Подобное представление чисел объясняется тем, что была выявлена следующая закономерность: если плавающая точка расположена перед первой значащей цифрой мантиссы, то при фиксированном количестве разрядов, отведенных под мантиссой, обеспечивается максимальная точность представления числа в машине, следовательно, мантисса должна быть правильной дробью.

o Дробь, у которой первая цифра после запятой отлична от нуля, называется правильной.

Примеры записи чисел в нормализованном виде:

     -10.35₁₀ = -0.1035₁₀ *10⁺²;

0.00007245₈ = 0.7245*8^-4 ;

FED4.6A₁₆ = 0.FED46A₁₆ *16⁺⁴.

На рис. 2.6 приведена форма представления чисел с плавающей точкой, использовавшаяся в первых ВМ с данный форматом чисел.

Диапазон и точность представления чисел с плавающей точкой зависят от числа разрядов, отводимых под порядок и мантиссу, от основания используемой системы счисления.

 

 

	Рис. 2.6. Форма представления чисел с плавающей точкой

 

Для упрощения операций над порядками в большинстве ВМ применяют так называемый смещенный порядок или экспоненту. Для этого к истинному порядку добавляется целое положительное число – смещение. Обычно смещение выбирается равным половине представимого диапазона порядков. В настоящее время для всех ВМ рекомендуемым является формат представления чисел с плавающей точкой, определенный стандартом IEEE 754. Этот стандарт был разработан для обеспечения переносимости программ с одного процессора на другие, он применяется практически во всех процессорах и математических сопроцессорах. На рис. 2.7 приведены основные форматы IEEE 754 для одинарной и двойной точности.

                                                   0     1      8битов      8 9     23 бита    31

 

                                            а) одинарный;

              0          1      11 битов     11 12            52 бита                        63

	Знак числа Порядок (экспонента)                    Мантисса

 

б) двойной

	Рис. 2.7. Основные форматы IEEE 754

 

Знак мантиссы занимает 1 разряд, принимает значения 0 для плюса, 1 для минуса. Смещенный порядок (экспонента) занимает 8(11) разрядов, знака не имеет. Минимальная экспонента 0, максимальная - 255 для одинарной точности и 2047 для удвоенной точности. Экспонента не используется для ненормализованных чисел. Значение экспоненты 1 соответствует -126 (-1024). Значение экспоненты равное 0 соответствует единичному значению старшего разряда экспоненты или 10000000₂ для одинарной точности и 10000000000₂ для удвоенной точности. Мантисса, значащая часть числа, занимает 24 для одинарной точности и 53 бита для двойной точности. В стандарте IEEE 754 под мантиссу отводится 23 (52) бита, но так как мантисса является нормализованной и ее первый разряд всегда должен быть равен 1, то при записи в память первый единичный разряд отбрасывается и под мантиссу отводится на 1 разряд меньше.

 

	Знак числа	Абсолютная величина числа
N разряда	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Число	1	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	1

                а) формат с фиксированной точкой

 

	Знак числа	Порядок								Мантисса
N разряда	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	…	30	31
Число	1	1	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0	…	0	0

               б) формат с плавающей точкой

 

Рис. 2.8. Пример записи числа -19310 =-110000012 в разрядную сетку ВМ для форматов с фиксированной и плавающей точкой.

 

 

На рис. 2.8 приводится пример записи числа -193₁₀ =-11000001₂ в разрядную сетку ВМ для форматов с фиксированной и плавающей точкой.

11000001₂=0. 1 1000001₂* 2⁸   - нормализованный вид числа -193₁₀. Экспонента порядка 8 равна 1 0001000₂. Первая единица разряда поля порядок означает, что порядок положительный. Первая «1» мантиссы в памяти не хранится.

Стандарт предусматривает два расширенных формата (одинарный и двойной), фактический вид которых зависит от конкретной реализации. Расширенные форматы предусматривают увеличение диапазона порядка и мантиссы.