Определители матрицы и их свойства

Мы имели уже дело с определителями второго и третьего порядков на предыдущих лекциях. Дадим теперь общее понятие определителя порядка по индукции. Любой квадратной матрице вида

 

ставится в соответствие число

определяемое ниже (см. определение 5) и называемое определителем (или детерминантом) матрицы Теперь введем понятие минора матрицы.

Определение 3.  В матрице  на пересечении любых  строк и  столбцов стоит матрица  порядка . Определитель матрицы   называется минором го порядка матрицы

Ясно, таких миноров может быть несколько.  Пусть теперь матрица  является квадратной.

Определение 4. Минор порядка, полученный из матрицы  после вычеркивания её строки и го столбца, называется дополнительным минором элемента  этой матрицы (обозначение: ). Число   называется алгебраическим дополнением элемента  матрицы .

Определение 5. Пусть  в квадратной матрице  выделена произвольная строка   Определителем матрицы   называется число

                                   

(т.е. сумма произведений элементов й строки на их алгебраические дополнения). Часто определитель матрицы обозначают так:  

Как мы уже отметили выше, определитель порядка   вычисляется по индукции: если известно правило вычисления определителей порядка, то определитель порядка вычисляется по формуле (1). Ранее было даны правила вычисления определителей второго и третьего порядков, поэтому по формуле (1) можно вычислить определители четвертого порядка и выше. Например,

    

Перечислим основные свойства определителей. Сначала заметим, что матрица  полученная из матрицы  заменой строк на столбцы с теми же номерами, называется тран-

спонированной к  матрицей. Обозначение:  

1) При транспонировании матрицы  ее определитель не изменяется:  

2) При перестановки каких-либо двух строк (или двух столбцов) матрицы ее определитель изменяет знак на противоположный.

3) Определитель, у которого есть нулевая строка (или нулевой столбец) равен нулю.

4) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны элементам другой строки (или столбца) равен нулю.

5) Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя:  

6) Если к какой-нибудь строке определителя прибавить другую строку, умноженную на любое число то определитель не изменится. Тоже верно и для столбцов определителя.

7) (сумма определителей)  

8) Определитель произведения двух квадратных матриц одной и той же размерности равен произведению определителей этих матриц:   

Доказательство всех этих свойств  проводится с использованием определения 5. Докажем, например, свойство 5. Имеем

Свойство 5 доказано.