Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Алгебра линейных операторов и ее связь с алгеброй матриц

Понятие линейного пространства было введено ранее. Дадим понятие линейного подпространства.

Определение 1. Подмножество  линейного пространства  называется подпространством пространства  над числовым множеством , если наряду с двумя произвольными элементами  принадлежащими  ему принадлежит и любая линейная комбинация ( числа).

Например, пространство   двумерных геометрических векторов является подпространством трехмерных геометрических векторов  В подпространстве существует свой базис, который можно выбрать из базисных векторов пространства .

Введем теперь понятие линейного оператора. Сначала заметим, что любое отображение  пространства  в пространство  ставящее в соответствие каждому элементу  единственный элемент  по закону  называется оператором (действующим из пространства в пространство ).

Определение 2.  Оператор называется   линейным оператором, если выполняются свойства[3]:

а)   б)  

Свойства а) и б) можно объединить в одно:  

Например, оператор  ставящий в соответствие каждому столбцу   столбец  будет линейным оператором, так как

 

 

Этот оператор называется оператором проектирования. В качестве другого важного примера можно указать на оператор, являющийся матрицей  размера  . Этот оператор действует из пространства  в пространство  Действительно,

Значит,  оператор  действует из пространства  в пространство  Далее, из определения действий над матрицами вытекает свойство   для любых столбцов  и любых чисел  Поэтому матрица  является линейным оператором.

Обозначим через  множество всех линейных операторов   В этом  множестве естественным образом вводятся линейные операции над операторами:

(при  получаем сумму операторов  и , при  получаем умножение оператора на число). Нетрудно показать, что пространство  является линейным пространством. Можно ввести даже операцию умножения операторов и  

Если  то в множестве всех линейных операторов  будут определены линейные операции и операция умножения операторов. Такое множество называется алгеброй операторов.

Важным понятием в линейной алгебре является понятие матрицы линейного оператора. Введем его. Пусть оператор является линейныым и пусть  Зафиксируем в пространстве  базис . Тогда любой вектор  можно записать в виде Точно так же, если в пространстве  зафиксировать базис  то любой вектор  можно записать в виде

                                         

Так как образы базисных векторов  принадлежат пространству  то их можно (согласно (4)) разложить по базису

Если ввести матрицу   то совокупность последних равенств можно записать в виде

 

Полученную таким образом матрицу  называют матрицей оператора  Сформулируем это понятие более точно.  

Определение 3. Матрицей оператора в базисе  называется матрица  (размера ), й столбец которой является координатным столбцом образа  (образа го базисного вектора  пространства ) в базисе

Пример 3. Пусть пространство   является пространством квадратных трехчленов: =

=   Выберем в нем базис  Тогда каждый элемент пространства  можно записать в виде

Найдем матрицу оператора дифференцирования  (здесь ). Так как  то

Следовательно, матрица  оператора  (согласно определению 3) имеет вид

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Если  и  матрицы операторов и  соответственно (в одном и том же базисе ), то матрицами операторов

( числа) и  в том же базисе  будут соответственно матрицы  

Из этой теоремы вытекает, что линейные операции над операторами и операция умножения операторов можно заменить на аналогичные операции над их матрицами. Поэтому, например, вместо того, чтобы решить операторное уравнение  достаточно решить матричное уравнение  а затем восстановить вектор  (здесь матрица оператора  в базисе   координатные столбцы векторов  и  в том же базисе).       

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение  

   Решение. Выбрав в пространстве квадратных трехчленов  базис (см. пример 2), запишем данное дифференциальное уравнение в матричной форме

     

Его решением является вектор-столбец

 

Значит, решением данного уравнения будет функция  где произвольная постоянная. Заметим, что мы нашли все решения данного уравнение в пространстве квадратных трёхчленов. Не исключено, что оно имеет и другие решения, не входящие в пространство .

Пример 4. Даны линейные преобразования в пространстве  

Построить преобразование   и найти его матрицу в стандартном базисе  пространства

Решение. Воспользуемся теоремой 2. Если  и  матрицы операторов  и   в базисе  то матрицей оператора   в том же базисе будет матрица  Построим эту матрицу, а затем восстановим по ней само преобразование . Вычисляя образы базисных векторов для  операторов  и , построим их матрицы:

Вычисляем матрицу

 

Значит,  

 

 

Лекция 6. Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису. Ядро и образ оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов

В предыдущей лекции были  определены две алгебры: алгебра линейных операторов и алгебра матриц. Было отмечено, что обе эти алгебры взаимосвязаны между собой и что при решении операторных уравнений можно пользоваться соответствующими им матричными уравнениями. Однако не был затронут вопрос об изменении матрицы оператора и координат вектора при переходе к новому базису. Восполним этот пробел.