Системы нечеткого рассуждения

Системы нечеткого рассуждения используют аппарат булевой алгебры, кроме 0 и 1 используют все промежуточные значения, обозначающие частичную истину. Например, высказывание P(здоров(x))=0,75.

Для комбинирования нецелочисленных значений истинности в нечеткой логике определены эквивалентные операции «и», «или», «нет». В результате нечеткой логики:

p1 и p2 = min (p1, p2)

p1 или p2 = max (p1, p2)

не p1 = 1 - p1

Пример:

Свидетельство 1 – 0,7

Свидетельство 2 – 0,3

Правило:

а) и: min (0,7; 0,3) = 0,3

б) или: max (0,7; 0,3) = 0,7

Развитие данных систем продолжилось с разработкой с появлением так называемых коэффициентов уверенности, которые введены для измерения степени доверия к любому исключению, являющимся результатом полученному к этому моменту свидетельств.

КУ [h, e] = МД [h, e] – МНД [h, e]

КУ [h, e] – коэффициент уверенности в гипотезе h с учетом свидетелей e.

МД [h, e] – мера доверия гипотезе h при заданном e.

МНД [h, e] – мера недоверия гипотезе h при заданном e.

Коэффициент уверенности может изменяться от -1 (абсолютная ложь) до +1 (абсолютная истина) принимая также промежуточные значения. Причем, ситуация, когда КУ=0 может означать два случая:

1) Когда мера доверия и мера недоверия равны и имеют маленькие значения – это случай недостаточной информации об объекте.

2) Когда мера доверия и мера недоверия равны и имеют большие значения – это случай противоречивых свидетельств.

Значения меры доверия и меры недоверия изменяются в интервале от 0 до 1.

Ни коэффициент уверенности, ни мера доверия и мера недоверия не являются вероятностными мерами.

Мера доверия и мера недоверия подчиняются некоторым аксиомам в теории вероятности, но не являются выборками из какой-либо популяции, следовательно, что им нельзя дать статистическую интерпретацию. Они позволяют упорядочить гипотезы со степенью их обоснованности.

 

Взвешивание свидетельств

Была разработана формула, по которой новые события можно сочетать со старыми результатами:

МД [h,e₁,e₂] = МД [h, e₁] + МД [h, e₂]*(1 – МД [h, e₁])

e_1, e₂ – последовательно поступающиеся свидетельства, свидетельствующие за гипотезу h

Эта формула имеет два важных свойства:

1. Формула симметрична в том смысле, что порядок e₁, e₂  не существенный.

2. По мере накопления подкрепляющих свидетельств результирующая мера доверия движется к большой определенности.

Результирующая мера недоверия считается по аналогичной формуле:

МНД [h, e₁, e₂] = МНД [h, e₁] + МНД [h, e₂] * (1 - МНД [h, e₁])

Пример:

Правило 1.

Если у объекта Х высокая температура и у объекта Х покраснение горла, то у него ОРЗ.

Правило 2.

Если у объекта Х насморк или у объекта Х головная боль, то у объекта Х ОРЗ.

1а – 0,8   0,75

1б – 0,75     

   2а – 0,4

2б – 0,6  0,6

Какая результирующая МД соответствует этим двум правилам?

МД [h, e₁, e₂] = 0,75 +0,6 * (1 – 0,75) = 0,9

 

Данная схема допускает возможность того, что как и свидетельства само правило может быть не надежным, чтобы учесть это, каждое правило может снабжаться коэффициентом ослабления числом от 0 до 1, показывающим надежность этого правила.

Правило 1: ЕСЛИ х

                И х

                    ТО х – ОРЗ

 

Правило 2: ЕСЛИ х

                ИЛИ х

                    ТО х – ОРЗ

 

1а – 0,88 0,5

1б – 0,5       

2а – 0,5

2б – 0,7  0,7

                              

 

Полученные меры доверия 0,5 и 0,7 необходимо умножить на ослабляющие коэффициенты 0,64 и 0,8:

0,5*0,64 = 0,32

0,7*0,8 = 0,56

Затем применяем формулу:

МД [h, e₁, e₂] = 0,32 + 0,56 (1 – 0,32) = 0,7008

 

Байесовский подход

Одним из исчислений неопределенности, имеющие сравнительно прочные теоретические основы является теорема Байеса. Теорема Байеса помогает связать информацию, поступающую из различных источников. Она позволяет вычислить относительное правдоподобие конкурирующих гипотез исходя из силы свидетельств.

ОП (Н:Е) = Р (Е: Н) / Р (Е: Н'),

где ОП – отношение правдоподобия

    Е – свидетельство

    Н – гипотеза

    Р (Е: Н) – вероятность свидетельства Е (или события Е), при условии заданной гипотезы Н.

   Р (Е: Н') – вероятность этого же свидетельства, при условии ложности данной гипотезы.

   Например, если мы знаем вероятность появления сыпи у больных ветряной оспы и вероятность появления другими заболеваниями, то мы можем вычислить заболевания ветряной оспы, если появилась сыпь.

   Отношение правдоподобия может быть использовано для уточнения шансов в пользу рассматриваемой гипотезы, если становится известно, что произошло событие Е.

   О = Р / (1 - Р)

   Р = О / (1+0),

где О – шансы в пользу чего-либо

   Р - вероятность

Преобразование оценки «шансы против А» в оценку «шансы за А» производится по следующей формуле                                                 

О = 1 / А

Например, 7 против 4 может быть выражено как 1,75 против 1, что соответствует 0,5714 к 1 «за» (или 4 к 7 в пользу рассматриваемой гипотезы).

Байесовская схема уточнения может быть сведена к следующему выражению:

О' (Н) = О (Н)*(Н:Е),

где О(Н) – априорные шансы в пользу гипотезы Н

  О' (Н) – результирующие апостериорные шансы, при условии наступления события Е в соответствии с отношением правдоподобия.

С помощью указанной формулы позволяет информацию, полученную из различных источников комбинировать, а по вычисленным апостериорным шансам можно вычислить и вероятности.

Отношение правдоподобия можно получить из простой двумерной таблицы показывающей, на сколько часто случается каждое событие при каждой из гипотез.

 

Таблица 1.1

Отношение к курению	Продолжительность жизни		Всего
	> 75 лет	75 лет или меньше
Курящие (чел) Некурящие (чел)	20 24	33 23	53 47
ВСЕГО	44	56	100

 

В приведенной таблице содержатся данные по 100 умершим людям, из которых 44 прожили 75 и больше, и 56 человек не дожили до 75 лет. Причем указано кто из них был курильщиком, а кто нет.

Априорные шансы в этой выборки из 100 случаев в пользу того, что человек проживет более 75 лет, высчитывается по следующей формуле:

О (Долгожитель) = 44 / 56 = 11 / 14 = 0,7857

Отношение правдоподобия считается по следующей формуле:

ОП (Долгожитель:Курящий) = (20/44)/(33/56) = (20*56)/(44*33) = =320/363 = 0,8815

ОП (Долгожитель:Некурящий) = (22/44)/(23/56) = (24*56)/(44*23) = =336/253 = 1,3280

Предположим, что пол принимается во внимание как еще одна переменная, имеющая отношение к долгожительству. Данные приведены в следующей таблице:

                                                                                      

Таблица 1.2

Пол	Продолжительность жизни		Всего
	> 75 лет	75 лет или меньше
Женщина Мужчина	20 24	20 36	40 60
ВСЕГО	44	56	100

 

ОП (Долгожитель:Женщина) = (20/24)/(20/56) =1,2727

ОП (Долгожитель:Мужчина) = (24/44)/(36/56) =0,8484

Учитывая, что априорные шансы в пользу продолжительной жизни равны 11/14 мы можем вычислить апостериорные шансы, что курящий мужчина проживет больше 75 лет пользуясь следующим выражением:

О'(Долгожитель) =ОП(Долгожитель:Курильщик)*

*ОП(Долгожитель:Мужчина)*(Долгожитель)

  О'(Долгожитель) = 0,8815*0,8484*11/14 = 0,5867

Вероятность вычисляется:

Р = О/(1+0) = 0,5867/(1,5867) = 0,3701

Начальная вероятность была равна 0,44.

Этот же принцип допускает расчета для большего количества гипотез. ОП всегда положительны, хотя 0 и ∞ могут получаться. Когда ОП > 1, то это указывает на свидетельство в пользу гипотезы. Множитель ОП показывает насколько более вероятна становится данная гипотеза при наличии свидетельств, чем при их отсутствии. Если свидетельства вызывают сомнения, то в некоторых случаях применяют масштабируемое ОП. Масштабируемое ОП считается по следующей формуле:

ОП' = ОП +ВС + (1 - ВС),

где ВС - вероятность того, что свидетельство надежно.

Например, если свидетельство известно с вероятностью Р=0,8, то ОП=1,2 в пользу гипотезы уменьшается до ОП' = 1,2 + 0,8 + (1 - 0,8) = 1,2*0,8 + 0,2=

= 0,96 + 0,2 = 1,16.

Например, ОП=0,5 (значительно противоречащее гипотезе) увеличится при использовании этой формулы: ОП' = 0,5*0,5 + 0,5 = 0,75.

Отношения правдоподобия имеют два преимущества:

1) Допускают комбинирования нескольких источников данных

2) Их легко корректировать, если свидетельство не надежно само по себе.

 

Нечеткая логика

Fuzzy logic

Встречаются задачи, решение которых точными количественными методами неэффективно или невозможно. В этих случаях имеет смысл применять методы приближенных вычислений, одним из которых является нечеткая логика. Применение fuzzy logic обосновано в следующих случаях:

1) Применение точных методов невозможно

2) Применение точных методов связано с большими затратами времени и ресурсов и имеет смысл пожертвовать точностью вычислений для экономии времени.

3) Нет возможности набрать статистический материал, чтобы воспользоваться теорией вероятности.

Рассмотрим пример, связанный с возрастом человека (рис.1).

До 16 лет нельзя однозначно утверждать, что человек молодой (например, 15-летие относится к термину молодой с рангом около 0,9). Зато диапазону от 16 до 30 лет можно смело присвоить ранг 1, т.е. человек в этом возрасте молодой. После 30 лет человек вроде уже не молодой, но еще и не старый, здесь принадлежность (ранг) термина молодой возрасту будет принимать значения в интервале от 0 до 1. И чем больше возраст человека, тем меньше становится его принадлежность к молодым, т.е. ранг будет стремиться к 0.

Нечеткое множество для термина молодой может быть изображено на следующей диаграмме:

Рис.1. Нечеткое множество для термина молодой

 

К нечетким множествам можно применять следующее операции:

1. Объединение:

 

2. Пересечение:

 

 

3. Дополнение:

 

 

4. Концентрация:

 

 

5. Размывание (размытие):

 

 

6. Фаззификация – это сопоставление множества значений х ее функции принадлежности М (х), т.е. перевод значений х в нечеткий формат.

Дефаззификация – процесс обратный фазификации, т.е. перевод нечетких значений в абсолютные значения х.

В нечеткой логике вводится понятие лингвистической переменной, значениями которого являются не числа, а слова естественного языка, называемыми термами. Например, в случае управления мобильным роботом можно ввести две лингвистические переменные ДИСТАНЦИЯ (расстояние до помехи) и НАПРАВЛЕНИЕ (угол между продольной осью робота и направлением на помеху).

Рассмотрим лингвистическую переменную ДИСТАНЦИЯ. Для нее можно определить следующие термы: ДАЛЕКО, СРЕДНЯЯ, БЛИЗКО, ОЧЕНЬ БЛИЗКО. Для физической реализации лингвистической переменной необходимо определить точные физические значения термов этой переменной.

Пусть переменная ДИСТАНЦИЯ может принимать любое значение из диапазона от 0 до ∞. Согласно положению теории нечетких множеств,  в этом случае каждому значению расстояние из указанного диапазона может быть поставлено в соответствие некоторое число от 0 до 1, которое определяет степень принадлежности данного физического расстояния (допустим 40 см) к тому или иному терму лингвистическое переменной ДИСТАНЦИЯ.

Степень принадлежности определяется функцией принадлежности

M (d), где d – расстояние до помехи.

В нашем случае расстоянию 40 см можно задать степень принадлежности к терму ОЧЕНЬ БЛИЗКО = 0,7, а к терму БЛИЗКО = 0,3. Конкретное значение степени принадлежности может проходить только при работе с экспертами.

 

 

Рисунок 1. Лингвистическая переменная и функция принадлежности.                                                       

Переменной НАПРАВЛЕНИЕ, которая может принимать значение от 0⁰ до 360⁰, зададим следующие термы: ЛЕВО, ПРЯМО, ПРАВОЕ.

Теперь необходимо задать выходные переменные. В рассматриваемом примере достаточно одной, которая будет называться РУЛЕВОЙ УГОЛ. Она может содержать термы: РЕЗКО ВЛЕВО, ВЛЕВО, ПРЯМО, ВПРАВО, РЕЗКО ВПРАВО.  Связь между входом и выходом запоминается в таблице нечетких правил.

Рисунок 2. Таблица нечетких правил.

Таким образом, мобильный робот с нечеткой логикой будет работать по следующему принципу: данные с сенсоров о расстоянии до помехи и направлении на нее будут фаззифицированы, обработаны согласно табличным правилам, дефаззифицированы и полученные данные в виде управляющих сигналов поступят на приводы робота.

Для описания неопределенности в задачах автоматического управления используется 3 подхода:

1.Вероятностный (стохастический);

2. Нечеткая логика (Fuzzy Logic);

3. Хоастические системы.

Областью внедрения алгоритмов нечеткой логики являются всевозможные экспертные системы в том числе:

1. Нелинейный подход за процессами (производство);

2. Самообучающиеся системы (классификаторы, исследование рисковых и критических ситуаций);

3. Распознавание образов;

4. Финансовый анализ (рынки ценных бумаг);

5. Исследование данных  (корпоративное хранилище);

6. Совершенствование стратегий и координация действий (например, сложное промышленное производство).

 

Недостатками нечетких систем являются:

1. Отсутствие стандартной методики конструирования нечетких систем;

2. Невозможность математического анализа нечетких систем существующими методами.

3. Применение нечеткого подхода по сравнению с вероятностным не приводит к повышению точности вычислений.

 

Инструментальные средства

Существуют различные пакеты, реализующие подходы к нечеткой логике. Наиболее яркими представителями являются следующие 3 пакета:

- FuzzyTech;

- CubiCalc;

- FuzzyCalc;

- Бизнеспрогноз.

FuzzyTech – пакет позволяет проектировать и отлаживать Fuzzy-системы. Конечным продуктом разработки системы является генерирующий при помощи программных модулей пакет содержит два редактора:

1. Редактор для создания и работы с лингвистическими переменными;

2. Редактор для работы с базой Fuzzy-правил.

Редактор для работы с лингвистическими переменными позволяет графически определить для каждого из возможных значений функцию принадлежности. В этом пакете функция принадлежности определяется при помощи координат или так называемых точек определения. Точки определения связывают линейными или нелинейными функциями. В пакете, как правило, используется четыре стандартные функции z_i, λ_i, p_i, s_i.

Функции принадлежности обычно нормализуют стандартные MBF-функции и задаются графически по следующему алгоритму:

Шаг 1.  Для каждого значения лингвистической переменной определяется самое типичное численное значение. В этой точки функции принадлежности присваивается значение единица.

Шаг 2. Значение ноль присваивается функции принадлежности в граничной точке, которая является самой типичной уже для другого (соседнего) значения лингвистической переменой.

Шаг 3. Точки 1 и 0 связываются соответствующими линиями.

Шаг 4. Для самого правого и самого левого на оси X значения лингвистической переменной используется соответствующий S-тип и Z-тип функции принадлежности.

Функции принадлежности могут быть нелинейными. Наиболее точно соответствуют требованиям, предъявляемым к функциям принадлежности, одна из нелинейных функций которых, называется кубический сплайн.

Вторая часть пакета – это редактор для работы с базой правил. Блоки правил осуществляют стратегии управления к базе системы. Каждый блок правил включает все правила для принятия решения. Решение полностью определяется входными и выходными переменными и правилами. Процесс выполнения  правила начинается с проверки выполнения условия «если». Оператор типа блока правил определяет какой метод исполняется. Существуют следующие виды операторов:

1. MIN – MAX

2. MIN – AVG

3. GAMMA

 

Пример:

 Моделирование работы светофора в нечеткой логике.

В предлагаемом нечетком светофоре время цикла остается постоянным, однако, время его работы в режиме зеленого света должно меняться в зависимости от количества подъезжающих к перекрестку машин. Пусть время цикла традиционного и нечеткого светофоров будет одинаковым и равным 1мин.=60сек. Длительность зеленого света обычного светофора зададим 30сек., тогда красный свет будет гореть тоже 30сек.

Для работы нечеткого светофора на перекрестке улиц Север-Юг (СЮ) и Запад-Восток (ЗВ) необходимо установить 8 датчиков (рис.1), которые считают проехавшие мимо них машины.

 

Светофор использует разности показаний четырех пар датчиков: (Д1-Д2), (Д3-Д4), (Д5-Д6) и (Д7-Д8). Таким образом, если для улицы СЮ горит зеленый свет, машины проезжают перекресток и показания двух пар датчиков равны: Д1=Д2, Д5=Д6, а, следовательно, их разность равна нулю. В это же время на улице ЗВ перед светофором останавливаются машины, которые успели проехать только Д4 и Д7. В результате можно рассчитать суммарное количество автомобилей на этой улице следующим образом:

(Д4-Д3)+(Д7-Д8)=(Д4-0)+(Д7-0)=Д4+Д7.

Для сравнения работы обоих светофоров введем показатель эффективности, в качестве которого будем рассматривать число машин, не проехавших перекресток за один цикл светофора.

Поскольку работа светофора зависит от числа машин на обеих улицах и текущего времени зеленого света, для нашей подпрограммы предлагается использовать 3 входа: число машин на улице СЮ по окончанию очередного цикла, число машин на улице ЗВ по окончанию цикла и время зеленого света нечеткого светофора.

Теперь для каждой переменной надо задать лингвистические термы, соответствующие некоторым диапазонам четких значений. Так, для переменной время зеленого света предлагается использовать три терма (рис.2):

• малое (10-25сек.);
• среднее(20-40сек.);

· большое(35-50сек.).

Рис.2. Функция принадлежности первой входной переменной.

Аналогично, термы для двух оставшихся переменных будут (рис.3):

• очень малое (0-18);
• малое (16-36);
• среднее (34-56);
• большое (54-76);

· очень большое (72-90).

Рис.3. Функция принадлежности второй и третьей входных переменных.

Так как суть работы светофора состоит в изменении времени зеленого света, в качестве выходного параметра предлагается использовать величину этого изменения. Термы в этом случае будут следующие:

• уменьшить (-20-0сек.);
• не изменять (-15-15сек.);
• увеличить (0-20сек.).

   
Рис.4. Функция принадлежности выходной переменной.

Кроме того, в подпрограмму записывается таблица правил на основе условных высказываний, которая формирует выходное значение исходя из величин входных параметров, например:

Если (число машин на улице СЮ=малое)&(число машин на улице ЗВ=большое)&(время зеленого света на улице СЮ=большое), то (время зеленого света=уменьшить).