Общая постановка задачи экономико-математического моделирования

 

Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы:

– постоянные факторы (условия проведения операции), на которые мы влиять не можем. Обозначим их через ;

– зависимые факторы (элементы решения) x ₁, x ₂,..., которые в известных пределах мы можем выбирать по своему усмотрению.

Критерий эффективности, выражаемый некоторой функцией, называемой целевой, зависит от факторов обеих групп, поэтому целевую функцию Z можно записать в виде:

 

Все модели исследования операций могут быть классифицированы в зависимости от природы и свойств операции, характера решаемых задач, особенностей применяемых математических методов.

Следует отметить прежде всего большой класс оптимизационных моделей. Такие задачи возникают при попытке оптимизировать планирование и управление сложными системами, в первую очередь экономическими системами. Оптимизационную задачу можно сформулировать в общем виде:

найти переменные x ₁, x ₂,..., x_n, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений)

 

                                     (1.1)

и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию, т.е.

 

                                   (1.2)

 

(Примечание. Условия неотрицательности переменных, если они есть, входят в ограничения (1.1)).

В тех случаях, когда функции f и  в задаче (1.1)-(1.2) хотя бы дважды дифференцируемы, можно применять классические методы оптимизации. Однако применение этих методов в исследовании операций весьма ограничено, так как задача определения условного экстремума функции n переменных технически весьма трудна: метод дает возможность определить локальный экстремум, а из-за многомерности функции определение ее максимального (или минимального) значения (глобального экстремума) может оказаться весьма трудоемким – тем более, что этот экстремум возможен на границе области решений. Классические методы вовсе не работают, если множество допустимых значений аргумента дискретно или функция Z задана таблично. В этих случаях для решения задачи (1.1)-(1.2) применяются методы математического программирования.

Математическое программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т.е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель.

Математическая модель задачи – это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т.д.

Если критерий эффективности Z = f(x₁, x₂,..., x_n) представляет линейную функцию, а функции  в системе ограничений (1.1) также линейны, то такая задача является задачей линейного программирования. Если, исходя из содержательного смысла, ее решения должны быть целыми числами, то эта задача целочисленного линейного программирования. Если критерий эффективности и (или) система ограничений задаются нелинейными функциями, то имеем задачу нелинейного программирования. В частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то полученная задача является задачей выпуклого программирования.

Если в задаче математического программирования имеется переменная времени и критерий эффективности (1.2) выражается не в явном виде как функция переменных, а косвенно – через уравнения, описывающие протекание операций во времени, то такая задача является задачей динамического программирования.

Из перечисленных методов математического программирования наиболее распространенном и разработанным является линейное программирование. В его рамки укладывается широкий круг задач исследования операций.

Методы экономико-математического моделирования, как и любые математические методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют задачу, отражая порой нелинейные процессы линейными моделями, динамические процессы – статическими моделями и т.д. Жизнь богаче любой схемы. Поэтому не следует ни преувеличивать значение количественных методов ЭММ, ни преуменьшать его, ссылаясь на примеры неудачных решений.

Уместно привести в связи с этим шутливо-парадоксальное определение исследования операций, сделанное одним из его создателей Т.Саати, как «искусства давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».