Раздел 2 применение экономико-математических методов в

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине: «Автоматизация технологических процессов»

 

Часть 2

 

 

2014 г.

 

РАЗДЕЛ 2 ПРИМЕНЕНИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В

АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

 

Цель и задачи экономико-математического моделирования

По мере развития экономики возросла необходимость более детального анализа экономических процессов и задач, возникли новые понятия и термины, показатели и характеристики, стали более широко применять математические инструментарии.

Управление любой системой реализуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществления данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие процесс и внешние условия, должны быть количественно определены, измерены.

Т.е., цель экономико-математического моделирования – количественное обоснование принимаемых решений по организации управления.

При решении конкретной задачи эконометрики предполагает:

– построение экономических и математических моделей для задач принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;

– изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия.

Операция - любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели. Результат операции зависит от способа ее проведения, организации, иначе – от выбора некоторых параметров.

Всякий определенный выбор параметров называется решением. Оптимальными считают те решения, которые по тем или иным соображениям предпочтительнее других.

Поэтому основной задачей экономико-математического моделирования является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Для применения количественных методов экономико-математического моделирования требуется построить математическую модель. Составление модели требует понимания сущности описываемого явления и знания математического аппарата.

 

Модели и моделирование

 

Одним из основных методов научного познания является эксперимент, а самой распространенной его разновидностью – метод моделирования систем.

В процессе создания систем приходится проводить многочисленные исследования, эксперименты и расчеты, связанные с оценкой качества функционирования систем, с выбором лучшего варианта для ее создания. Выполнять их непосредственно на реальной системе очень сложно, иногда занимает много времени и экономически невыгодно. Существуют системы (экономика страны), на которых просто невозможно ставить эксперименты с познавательной целью. Значительно проще и дешевле создать модель системы и проводить на ней эксперименты.

Под моделью принято понимать систему, способную замещать оригинал так, что ее изучение дает новую информацию об оригинале. Модель должна частично или полностью воспроизводить структуру моделируемой системы, ее функции.

Под моделированием понимается процесс построения и исследования модели, способной заменить реальную систему и дать о ней новую информацию.

Модели, используемые на практике, условно можно разделить на два типа: физические и символические.

Символические модели описывают структуру и функции оригинала с помощью символов и соотношений между ними, выражающих определенные зависимости, присущие оригиналу. Большое место среди символических моделей занимают математические модели (уравнения, неравенства, функции, алгоритмы и т.д.), отражающие математические или логические зависимости.

Математическая модель представляет собой систему математических и логических соотношений, описывающих структуру и функции реальной системы. Математическая модель отличается по своей физической природе от оригинала. Исследование свойств оригинала с помощью математической модели значительно удобнее, дешевле и занимает меньше времени по сравнению с физическим моделированием. Многие математические модели являются универсальными, т.е. могут использоваться для исследования различных систем. Целый ряд систем, в том числе экономических, либо трудно, либо вообще невозможно представить с помощью физических моделей. Существенную роль в развитии математического моделирования сыграли ЭВМ, способные выполнять различные по сложности вычисления и логические операции с большой скоростью.

Среди математических моделей важное место занимают экономико-математические модели (ЭММ), представляющие собой математическое описание экономических процессов и явлений. Большинство ЭММ включает в себя систему уравнений и неравенств, состоящих из набора переменных и параметров. Переменные величины характеризуют, например, объем производимой продукции, капитальных вложений, перевозок и т.п., а параметры – нормы расхода сырья, материалов, времени на производство определенной продукции.

Практически в каждой модели можно выделить две группы переменных:

1) внешние переменные – их значения определяются вне данной модели и считаются в данной модели заданными;

2) внутренние переменные, значения которых определяются в результате исследования данной модели.

ЭММ используются преимущественно для планирования или прогнозирования состояния системы на будущее. Наряду с использованием в предсказательных целях ЭММ применяются для описания реально существовавших или существующих экономических процессов.

Выделяют описательные и оптимизационные ЭММ, которые используются на любых уровнях народнохозяйственной иерархии.

Описательные модели экономических систем представляют собой формализованную с помощью математического аппарата экономическую задачу и используются для более глубокого изучения состояния системы и взаимосвязи ее элементов. К ним относятся матричные модели межотраслевых балансов народного хозяйства и экономического района, производственные функции и др. При определении исходных данных задачи модели данного типа позволяют получить единственное решение. Основной недостаток этих моделей – отсутствие условия нахождения оптимального решения.

Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл экономической задачи. Отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального решения (критерия оптимальности), которое записывается в виде функционала. Эти модели при определенных исходных данных задачи позволяют получать множество решений, удовлетворяющих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального решения, отвечающего критерию оптимальности: модели определения оптимальной производственной программы, модели оптимального смешивания компонентов, оптимального раскроя, оптимального размещения предприятий некоторой отрасли на определенной территории, модели транспортной задачи. Большинство существующих оптимизационных моделей являются моделями планирования и имеют один критерий оптимальности.

 

Примеры задач линейного программирования в экономике

 

Пример 1. Задача о наилучшем использовании ресурсов. Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, фирма и т.д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресурсов, может выпускать n различных видов продукции (товаров) П _j,  Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т.д.). Все эти виды ограничивающих факторов называют ингредиентами R_i,  Они ограничены, и их количества равны соответственно b₁, b₂,..., b_m условных единиц. Известна экономическая выгода (мера полезности) производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребностей и т.д. Примем в качестве такой меры, например, цену реализации c_j, j = . Известны также технологические коэффициенты a_ij, , которые указывают, сколько единиц i -го ресурса требуется для производства единицы продукции j -го вида. Обозначим через план производства, показывающий, какие виды товаров П₁, П₂,..., П _n нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

 

                                                         (2.4)

 

Так как переменные x_j входят в целевую функцию Z () и систему ограничений только в первой степени, а показатели a_ij, b_i, c_j являются постоянными в планируемый период, то выражение (2.4) – задача линейного программирования.

 

Пример 2. Задача о смесях. В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи формировании минимальной потребительской продовольственной корзины, составлении кормового рациона в животноводстве, смеси красок для окрашивания тканей, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т.д. Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.

Модель задачи о наилучшем составе смеси рассмотрим на примере задачи формирования минимальной потребительской продовольственной корзины. Задан ассортимент продуктов , имеющихся в продаже. Каждый продукт содержит определенное количество питательных веществ, обозначаемые номерами 1,2,..., m (углеводы, белки, жиры, витамины, микроэлементы и др.). Единица j -го продукта содержит a_ij единиц i -го питательного вещества. Для нормальной жизнедеятельности в заданный промежуток времени нужно потреблять не менее b_i единиц i -го питательного вещества. Обозначим через c_j стоимость единицы продукта j -го вида. Необходимо определить требуемую потребительскую продовольственную корзину, имеющую минимальную стоимость.

Решение задачи – это количества x_j продуктов каждого вида, обеспечивающие необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на исходные продукты.

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

 

                                                    (2.5)

 

Пример 3. Задача о раскрое материалов. Сущность задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких технологически допустимых планов раскроя, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму.

На раскрой (распил, обработку) поступает материал нескольких видов в определенном количестве. Из этого материала необходимо изготовить различные изделия. Материал может быть раскроен разными способами. Каждый способ имеет свою себестоимость и позволяет получить разное количество изделий каждого вида. Определить способ раскроя, при котором суммарная себестоимость минимальна.

Пусть n – число различных видов материала, поступающего на раскрой;

d_j – количество материала j -го вида,

m – число различных видов изделий, которые надо изготовить;

b_i – число изделий i -го вида, ;

l – число различных способов раскроя;

a_ijk – число изделий i -го вида, которое можно получить из единицы материала j -го вида при k -м способе раскроя, ;

c_jk – себестоимость раскроя единицы материала j -го вида k -м способом, .

Обозначим через x_jk – количество единиц материала j -го вида, раскраиваемых k -м способом, .

Математическая модель задачи имеет следующий вид:

 

.

 

Вместо критерия минимизации себестоимости в задаче может быть взят, например, критерий минимизации отходов. В этом случае в условии должно быть задано количество отходов, получаемых при каждом способе раскроя для единицы материала каждого вида.

АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА

 

Заполнение СТ по станд. форме записи ЗЛП: ,

где: - свободные члены; - введенные переменные в для знака равенства

 

                       Опорное решение                      да                         Оптимальное решение           да

                      ()                                                   ()

                                          нет                                                                                   нет   

        Выбор разрешающего столбца :                             Выбор разрешающего столбца :

                                                       

 

Выбор разрешающего элемента:

 

Нахождение новых значений СТ:

 

Заполнение новой СТ: оставшиеся ячейки СТ -

суммой чисел, старых и новых значений соответствующих ячеек

 

 

Получение оптимального решения:

Пример решения ЗЛП симплекс-методом

 

Пример 2.1. Предприятию необходимо изготовить три вида продукции А, В, С и D, с использованием трех видов ресурсов R ₁, R ₂, R ₃ количество которых ограничено. Исходные данные задачи представлены в таблице:

 

Вид ресурсов	Количество ресурсов, идущих на изготовление единицы продукции				Запасы ресурсов
	А	В	С	D
R1	4	2	3	1	116
R2	2	0	3	2	94
R3	4	1	0	5	196
Доходы от реализации продукции	48	15	11	32

 

Требуется составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальный доход.

Решение.

Обозначим через х₁, х₂ и x₃ количество единиц продукции видов А, В, С и D, планируемых к выпуску.

Известно, что доход от реализации единицы продукции А составляет 48 усл.ед. и количество этой продукции – х₁. Следовательно, доход от реализации всей продукции А составит 48 х ₁ усл.ед. Аналогично, доход от реализации всей продукции В составит 15 х₂ усл.ед., продукции С – 11 х₃ усл.ед., продукции D – 32 х₄ усл.ед. Учитывая, что доход от реализации продукции должен быть максимальным, целевая функция задачи будет иметь вид:

 

Известно также, что имеющиеся на предприятии ресурсы ограничены. Это обстоятельство в свою очередь необходимо отразить в модели. Предприятие производит продукцию, используя три вида ресурсов. Естественно, что фактический расход никакого вида ресурса не должен превышать запасов соответствующего вида ресурсов на предприятии. Поскольку расход каждого вида ресурсов на единицу каждого вида продукции и запасы ресурсов известны, это обстоятельство отражается в следующих ограничениях:

 

 

Количество продукции, выпускаемое предприятием, должно быть величиной положительной или равной нулю (если предприятие определенный вид продукции не производит). Следовательно, в модели должны присутствовать ограничения неотрицательности переменных:

 

 

Таким образом, построена математическая модель задачи как задачи линейного программирования:

 

Необходимо максимизировать целевую функцию, используя симплекс-метод решения ЗЛП.

 

Решение.

1. Приведем систему ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам введением дополнительных (базисных) переменных:

Получили число всех переменных n=7, число уравнений-ограничений m=3, число свободных членов k=n-m=7-3=4. В качестве свободных членов выберем x₁, x₂, x₃ и x₄ и выразим через них базисные переменные y₁, y₂ и y₃ и целевую функцию Z_max(X^*), для чего найдем minL = max(-Z).

2. Перепишем уравнения целевой функции и ограничения в стандартной форме:

Откуда

3. Заполним первую симплекс-таблицу по исходным данным, записанным в стандартной форме.

	Свободный член	x1^R	x2	x3	x4
L	0 -1392	48 -12	15 -24	11 -36	32 -12
y1^R	116 29	4 1/4	2 1/2	3 3/4	1 1/4	116/4=29
y2	94 -58	2 -1/2	0 -1	3 -3/2	2 -1/2	94/2=47
y3	196 -116	4 -1	1 -2	0 -3	5 -1	196/4=49

 

Т.к. все свободные члены таблицы больше нуля, то имеется опорное решение задачи. Но решение не оптимально, т.к. все коэффициенты целевой функции больше нуля. Для поиска оптимального решения в качестве разрешающего столбца выберем столбец x₁, т.к. он имеет максимальное значение коэффициента целевой функции равное 48. В качестве разрешающего элемента выберем элемент 2-й строки со значением 4, т.к. он имеет минимальное отношение свободного члена к данному элементу. Соответственно разрешающей строкой будет строка y₁. Преобразуем первую симплекс-таблицу в соответствии с алгоритмом: делим единицу на разрешающий элемент, элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент, элементы разрешающего столбца делим на разрешающий элемент и меняем знак. Остальные элементы находятся как произведение выделенных элементов разрешающей строки на соответствующие выделенные элементы разрешающего столбца. Внесем в таблицу необходимые данные, после чего построим вторую симплекс-таблицу.

4. Строим и заполняем вторую симплекс-таблицу, поменяв при этом местами свободную переменную x₁ с базисной переменной y₁.

	Свободный член	y1	x2	x3	x4^R
L	-1392 -400	-12 5	-9 5	-25 15	20 -5
x1	29 -5	1/4 1/16	1/2 1/16	3/4 3/16	1/4 -1 /16	29/(1/4)=116
y2	36 -30	-1/2 3/8	-1 3/8	3/2 9/8	3/2 -3/8	36/(3/2)=24
y3^R	80 20	-1 -1/4	-1 -1/4	-3 -3/4	4 1/4	80/4=20

 

Т.к. свободные члены таблицы больше или раны нулю, то имеется опорное решение задачи. Но решение не оптимально, т.к. не все коэффициенты целевой функции меньше нуля. Для поиска оптимального решения в качестве разрешающего столбца выберем столбец x₄, т.к. он имеет максимальное значение коэффициента целевой функции равное 20. В качестве разрешающего элемента выберем элемент 4-й строки со значением 4, т.к. он имеет минимальное отношение свободного члена к данному элементу. Соответственно разрешающей строкой будет строка y₃. Преобразуем вторую симплекс-таблицу в соответствии с алгоритмом, внесем в нее необходимые данные, после чего построим вторую симплекс-таблицу.

5. Строим и заполняем третью симплекс-таблицу, поменяв при этом местами свободную переменную x₄ с базисной переменной y₃.

	Свободный член	y1	x2	x3	y3
L	-1792	-7	-4	-10	-5
x1	24	5/16	9/16	15/16	-1/16
y2	6	-1/8	-6/8	21/8	-3/8
x4	20	-1/4	-1/4	-3/4	1/4

Т.к. свободные члены таблицы больше нуля, и все коэффициенты целевой функции меньше нуля, то получили оптимальное решение задачи.

Имеем следующие значения свободных переменных:

x₁ = 24, x₂ = 0, x₃= 0, x₄ = 20.

Отсюда:

 

Пример 2.2. Предприятию необходимо изготовить два вида продукции А и В, с использованием трех видов ресурсов R ₁, R ₂, R ₃ количество которых ограничено. Исходные данные задачи представлены в таблице:

 

Вид ресурсов	Количество ресурсов, идущих на изготовление единицы продукции		Запасы ресурсов
	А	В
R1	6	6	36
R2	4	2	20
R3	4	8	40
Доходы от реализации продукции	12	15

 

Требуется составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальный доход.

Решение.

Обозначим через х₁ и х₂ количество единиц продукции видов А и В, планируемых к выпуску.

Известно, что доход от реализации единицы продукции А составляет 12 усл.ед. и количество этой продукции – х₁. Следовательно, доход от реализации всей продукции А составит 12 х ₁ усл.ед. Аналогично, доход от реализации всей продукции В составит 15 х₂ усл.ед. Учитывая, что доход от реализации продукции должен быть максимальным, целевая функция задачи будет иметь вид:

 

Известно также, что имеющиеся на предприятии ресурсы ограничены. Это обстоятельство в свою очередь необходимо отразить в модели. Предприятие производит продукцию, используя три вида ресурсов. Естественно, что фактический расход никакого вида ресурса не должен превышать запасов соответствующего вида ресурсов на предприятии. Поскольку расход каждого вида ресурсов на единицу каждого вида продукции и запасы ресурсов известны, это обстоятельство отражается в следующих ограничениях:

 

 

Смысл первого ограничения состоит в том, что фактический расход ресурса R ₁ на производство продукции А и В, равный 6 х ₁+6 х ₂ (здесь 6 х ₁ – количество единиц ресурса R ₁, идущего на изготовление х ₁ единиц продукции A; 6 х ₂ – количество единиц ресурса R ₁, идущее на изготовление х ₂ единиц продукции В) не должен превышать запаса этого ресурса на предприятии, равного 36 ед. Аналогичный смысл имеют 2-е и 3-е ограничения только для ресурсов R ₂ и R ₃ соответственно.

Количество продукции, выпускаемое предприятием, должно быть величиной положительной или равной нулю (если предприятие определенный вид продукции не производит). Следовательно, в модели должны присутствовать ограничения неотрицательности переменных:

 

 

Таким образом, построена математическая модель нашей задачи как задачи линейного программирования:

 

 

Решение.

1. Приведем систему ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам введением дополнительных (базисных) переменных:

Получили число всех переменных n=5, число уравнений-ограничений m=3, число свободных членов k=n-m=5-3=2. В качестве свободных членов выберем x₁, x₂ и выразим через них базисные переменные y₁, y₂ и y₃ и целевую функцию Z_max(X^*), для чего найдем minL = max(-Z).

2. Перепишем уравнения целевой функции и ограничения в стандартной форме:

 

Откуда

 

3. Заполним первую симплекс-таблицу по исходным данным, записанным в стандартной форме.

	Свободный член	x1	x2^R
L	0 -75	12 - 7, 5	15 - 15/8
y1	36 -30	6 -3	6 -6/8=- 3/4	36/6=6
y2	20 -10	4 -1	2 -2/8= -1/4	20/2=10
y3^R	40 40/8=5	4 4/8=1/2	8 1/8	40/8=5

 

Т.к. все свободные члены таблицы больше нуля, то имеется опорное решение задачи. Но решение не оптимально, т.к. все коэффициенты целевой функции больше нуля. Для поиска оптимального решения в качестве разрешающего столбца выберем столбец x₂, т.к. он имеет максимальное значение коэффициента целевой функции равное 15. В качестве разрешающего элемента выберем элемент 4-й строки со значением 8, т.к. он имеет минимальное отношение свободного члена к данному элементу. Соответственно разрешающей строкой будет строка y₃. Преобразуем первую симплекс-таблицу в соответствии с алгоритмом: делим единицу на разрешающий элемент, элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент, элементы разрешающего столбца делим на разрешающий элемент и меняем знак. Остальные элементы находятся как произведение выделенных элементов разрешающей строки на соответствующие выделенные элементы разрешающего столбца. Внесем в таблицу необходимые данные, после чего построим вторую симплекс-таблицу.

4. Строим и заполняем вторую симплекс-таблицу, поменяв при этом местами свободную переменную x₂ с базисной переменной y₃.

	Свободный член	x1^R	y3
L	-75 -9	4,5 -4,5/3= -1,5	-15/8 -1,12
y1^R	6 6/3=2	3 1/3	-3/4 -3/4/3=-1/4	6/3=2
y2	10 -6	3 -3/3= -1	-1/4 3/4	10/3=3,3
x2	5 -1	1/2 -1/2/3= -1/6	1/8 1/8	5/1/2=10

 

Т.к. свободные члены таблицы больше или раны нулю, то имеется опорное решение задачи. Но решение не оптимально, т.к. не все коэффициенты целевой функции меньше нуля. Для поиска оптимального решения в качестве разрешающего столбца выберем столбец x₁, т.к. он имеет максимальное значение коэффициента целевой функции равное 4,5. В качестве разрешающего элемента выберем элемент 2-й строки со значением 3, т.к. он имеет минимальное отношение свободного члена к данному элементу. Соответственно разрешающей строкой будет строка y₁. Преобразуем вторую симплекс-таблицу в соответствии с алгоритмом, внесем в нее необходимые данные, после чего построим вторую симплекс-таблицу.

5. Строим и заполняем третью симплекс-таблицу, поменяв при этом местами свободную переменную x₄ с базисной переменной y₃.

	Свободный член	y1	y3
L	-84	-1,5	-2,99
x1	2	1/3	-1/4	6/3=2
y2	4	-1	1/2	10/3=3,3
x2	4	-1/6	1/4	5/1/2=10

 

Т.к. свободные члены таблицы больше нуля, и все коэффициенты целевой функции меньше нуля, то получили оптимальное решение задачи.

Имеем следующие значения свободных переменных:

x₁ = 2, x₂ = 4.

Отсюда:

 

Пример решения транспортной задачи линейного программирования

 

На четырех текстильных предприятиях В ₁, В ₂, В ₃, В ₄ изготавливается в день соответственно 20,120,20 60 м² тканей одного типа. Из этих тканей на трех автоматизированных швейных фабриках А ₁, А ₂, А ₃ изготавливаются пододеяльники в количестве соответственно 100,70 и 50 м². Известны стоимости перевозки (табл. 3.2) 1м² тканей из каждого пункта производства в каждый пункт потребления (ден. ед./ м²).

Требуется так закрепить текстильные предприятия за швейными фабриками, чтобы при полном обеспечении тканями затраты на перевозку были минимальными.

РЕШЕНИЕ.

Исходное опорное решение получим по методу «северо-западного угла» (табл. 3.3) и по методу min элемента (табл.4).

Здесь ,т.е имеем закрытую модель ТЗ (табл. 3.2).

 

Табл. 3.2. Исходные данные

Bj      Ai	20	120	20	60
100	6	4	2	4
70	1	2	7	2
50	2	4	1	4

 

Табл. 3.3. Решение методом «северо-западного» угла

Bj Ai	20	120	20	60
100	6 20	4 80	2	4
70	1	2 40	7 20	2 10
50	2	4	1	4 50

 

Транспортные расходы f=

 

Табл. 3.4. Решение методом min элемента

Bj         Ai	20	120	20	60
100	6	4 100	2	4
70	1 20	2	7	2 50
50	2	4 20	1 20	4 10

 

f=

Транспортные расходы для опорного плана, построенного по методу min элемента, меньше. Поэтому за исходное решение возьмем то, которое получено по методу min элемента (табл. 3.4).

Количество заполненных клеток в табл. 3.4 равно 6: m+ n -1=3+4-1=6.

Следовательно, полученный план невырожденный.

Для определения потенциалов (см. формула 3.8) составляем уравнения:

 

u₁+v₂=4, u₂+v₁=1, u₂+v₄=2, u₃ +v₂=4, u₃+v₃=1, u₃+v₄=4.

Положим u₁=0, тогда v₂=4, u₃=0, v₃=1, v₄=4, u₂=-2, v₁=3.

 

Потенциалы проставлены в табл. 3.5 (последняя строка и последний столбец). Их можно вычислять и непосредственно в таблице не выписывая систему уравнений. Т.к. если известны потенциал и тариф (стоимость перевозки) занятой клетки, то из соотношения u_i+ v_j= c_ij легко определить неизвестный потенциал (из суммы вычесть известное слагаемое, получим неизвестное слагаемое. Роль суммы в данном равенстве играет тариф c_ij)

Определим по формуле (3.9) оценки свободных клеток:

 

s₁₁=6-(0+3)=3>0, s₁₃=2-(0+1)=1>0, s₁₄=4-(0+4)=0

s₂₂=2-(-2+4)=0, s₂₃=7-(-2+1)=8>0, s₃₁=2-(0+3)= -1<0

 

табл. 3.5. Исходный план                                табл. 3.6. Новый план