Дифференциальные уравнения движения материальной

 точки.

 

 

Для того, чтобы описать движение материального объекта находящегося под действием сил, необходимо составлять дифференциальные уравнения, а потом их решать.

Решение дифференциальных уравнений называется интегрированием дифференциальных уравнений.

 

Как известно из кинематики, движение точки математически можно описать тремя способами:

· векторным,

· координатным

· естественным.

Соответственно, из второго закона Ньютона следуют дифференциальные уравнения движения материальной точки

· ввекторной,

· в координатной 

· в естественной

формах.

Векторная форма

Рассмотрим свободную материальную точку   массы , движущуюся под действием системы сил относительно инерциальной системы отсчёта (рисунок 1.1).

Исходным уравнением является основной закон динамики:

 

.       (1)

Изображаем координатную систему Оxyz – это инерциальная система отсчета, принято называть движение по отношению к инерциальной системе отсчета абсолютным движением.

Изобразим точку М и силу .

Если посмотреть на первое уравнение, то чем отличается вектор силы от вектора ускорения в скалярной величине?

Скаляром массы.

Значит в этом случае сила и ускорение направлено по одной прямой.

 

Если воспользоваться формулой

где радиус – вектор точки, то уравнение (1) принимает вид

                                                             (7)

Уравнение    (7) называется дифференциальным уравнениемдвижениясвободной материальной точки в векторной форме.

Для несвободной точки в правой части появится, кроме активной силы реакция.

Записываем.

Для несвободной точки уравнение (6) записывается:

 

 

                                    (8)

Где

 - равнодействующая всех активных сил

- равнодействующая всех реакций связи

Уравнение (8) называется дифференциальным уравнением движениянесвободной материальной точки в векторной форме.

 

2.2  Координатная форма

Проецируя векторное равенство (7)   на координатные оси, получаем скалярные уравнения

= F_x

 = F _у

= F_z

где

=

=

                                               =

поэтому

                                                                     (9)

Уравнения (9) называютсядифференциальнымиуравнениями свободной материальнойточки в координатной форме (декартовых координатах).

Очевидно, дифференциальные уравнения движения несвободной точкив декартовых координатах имеют вид

                                                        (10)

Уравнения (9) называютсядифференциальнымиуравнениями не свободной материальнойточки в координатной форме (декартовых координатах).

Существуют диф. уравнения первого, второго и др. порядков, зависят эти уравнения от старшей производной.

2.3  Естественная форма

Для записи диф. уравнений в естественной форме необходимо вспомнить кинематику.

Если траектория АВ точки М известна, то изображаем:

- траекторию движения точки, 

- начало отсчета

- точку на траектории.

Затем изображаем естественную систему координат, для этого проводим касательную Направление касательной определяем ортом , затем изображаем главную нормаль и бинормаль, характеризуемые соответственно ортами  

Плоскость образованную касательной и главной нормалью называют соприкасающейся плоскостью.

Теперь будем проецировать основное уравнение (1) на естественные оси.

 

Для свободной материальной точки

                           

                                                   (11)

или

 

                              

                                                           (12)

так как

 

 

Из последнего уравнения (11) видно, что траектория, описываемая точкой под действием силы , такова, что соприкасающаяся плоскость всегда содержит в себе эту силу.

 

Уравнения (11) называются дифференциальными уравнениями движениясвободной материальной точки вестественной форме.

 

По аналогии легко записать дифференциальные уравнения движениянесвободной точки в естественной форме

                                                             (13)

Замечание:

Реакция  зависит от:

1) типа связей, наложенных на точку;

2) активной силы , вызывающей движение точки: реакция может появиться только при наличии активной силы;

3) движения самой точки.

Поэтому реакция  заранее неизвестна.

 

Пример.

 Рассмотрим движение груза M, подвешенного к нижнему концу гибкой нерастяжимой нити длиною  

 

 

 

Уравнения (13) в данном случае имеют вид

    

Откуда получаем

то есть реакция зависит от силы тяжести P, а также от положения точки на траектории, характеризуемого углом , и её скорости  в рассматриваемый момент времени.