Основные задачи динамики материальной точки.

В статике и кинематике мы решали две основные задачи. В динамике тоже мы будем решать две задачи.

Сначала будем рассматривать задачи для свободной материальной точке, а затем запишем замечания для несвободной материальной точки.

 

Первая основная (прямая) задача для свободной материальной точки. (стр 21 - 24)

 

Первая основная (прямая) задача.

 Считая заданными массу и движение свободной материальной точки, требуется определить силу, которая вызывает заданное движение.

 

Рассмотрим решение этой задачи на конкретном примере.

Векторный способ задания движения точки (дополнительно)

Пусть дано:

масса точки;

уравнение движения точки в векторной форме.

Определить .

По заданному уравнению движения дифференцированием по времени находим вектор ускорения точки:

и, подставляя его в уравнение (1.6),определяем искомую силу

.

Координатный способ задания движения точки (обязательно)

Пусть дано:

m – масса точки;

уравнения движения точки.

Определить: модуль и направление силы .

Дифференцируя дважды по времени уравнения движения, находим проекции ускорения точки на координатные оси

Затем воспользуемся уравнениями (1.8), из которых определяем проекции искомой силы

Эти проекции вполне определяют силу как величину векторную. Действительно, модуль силы равен

а её направление характеризуется выражениями

Адача

Материальная точка массой m движется согласно уравнениям

постоянные).

Определить силу, вызывающую заданное движение точки. (модуль и направление)

Решение.

Воспользуемся следующими уравнениями:

Определим вид траектории.

В кинематике мы рассматривали подобную задачу? Да.

Траекторией точки является эллипс

 

 

 

 

Находим проекции ускореий на координатные оси.

,

т.к

то данные уравнеия можно записать в другом виде

Отличие уравнений состоит в том, что в превом случае мы видим в чему равны производные в любой момент времени, а во втором случае в любом положении точки.

Следовательно проекции силы на оси координат будут равны:

,

или

Откуда

таким образом

где

- модуль радиуса вектора.

 

Сила действующая на точку,   – переменная, пропорциональная первой степени растояния до точки О начала координат.

Определим как она направленна.

Силу  предстовляем в виде:

 

 = F_X  + F_У

Подставляем

 в данную формулу и получаем

= - mk²(x  + у )

так как

 

Итак

Чем отличается вектор силы от радиуса вектора?

Знаком и скаляром.

Сила  в любом положении точки на эллипсе направлена в противоположную сторону вектора , то есть  

Таким образом, действующая на точку сила пропорциональна расстоянию точки от центра O, и её линия действия в любой момент движения проходит через неподвижный центр O.

Такая сила называется центральной силой. (она линейная,т.к. пропорциональна первй степени радиуса вектора)

Первая задача динамики сточки зрения математики простая, т.к. решается с помощью операции дифференцирования.

Естественный способ задания движения точки (дополнительно)

Пусть дано:

 масса точки;

траектория точки (следовательно, и её радиус кривизны );

уравнение движения точки в естественной форме (закон движения по траектории).

Определить: модуль и направление силы .

По уравнению движения точки вычисляем скорость, касательное и нормальное ускорения точки:

Далее из уравнения (1.10) находим проекции силы на естественные оси координат

Наконец,

Итак, первая основная задача динамики свободной точки решается весьма просто при помощи операции дифференцирования.

Несмотря на свою простоту, эта задача сыграла важную роль в науке. 

Опираясь на три эмпирических закона Кеплера  (1571 ― 1630) ― немецкий математик и астроном, кинематически определяющих движение планет вокруг Солнца, Ньютон исследовал вопрос о том, какие силы действуют на планеты.

В результате решения этой первой задачи динамики Ньютон пришёл к открытию закона всемирного тяготения.

Первая задача динамики несовободной точки:

В случае несвободной точки в первой задаче динамики необходимо по заданной массе, активной силе, определить реакцию связей