Тема: Знакопеременные ряды. (1-час)

 Рассмотрим теперь числовые ряды, имеющие члены любого знака.

 

Определение. Знакочередующимся рядом называется числовой ряд вида

                                                              (10)

 где  для .

Для исследования сходимости таких рядов используется следующий признак.

Теорема 7 (Признак Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд (10) удовлетворяет двум условиям:

а) ,

в) ч лены ряда по модулю убывают, т.е. , для .

Тогда этот ряд сходится и его сумма  удовлетворяет неравенству .

Рассмотрим случай, когда ряд начинается с ; запишем частичную сумму для четного числа слагаемых .

Из условия в) теоремы следует, что   и эта последовательность возрастает с ростом  (все скобки положительны). Запишем  другим способом.

.

Поскольку в скобках стоят положительные величины, то . Возрастающая последовательность  ограничена сверху числом , следовательно, согласно свойству пределов существует предел  и .

Для нечетного числа слагаемых, учитывая условие                       

а) получим ,

Случай, когда первый член ряда отрицателен, рассматривается аналогично.

Пример11. Исследуем сходимость знакочередующегося ряда .

Поскольку  и , для всех , то этот ряд сходится, и его сумма  удовлетворяет неравенству .

На самом деле, можно проверить, что .

Введем еще одно важное понятие для сходящегося ряда.

Определение. n -ым остатком сходящего ряда (1) называется разность между его суммой S и частичной суммой :

                                           .                                     (*)

Этот остаток есть сумма членов ряда, начиная с го .

Из (*) следует, что остаток можно определить только для сходящегося ряда, и что

, т.к.

Следствие. Остаток знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, по модулю не превосходит модуля своего первого члена, т.е.

Доказательство этого факта следует из того, что остаток является суммой знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница

или .

Этот факт позволяет наиболее просто определять количество слагаемых ряда для приближенного вычисления его суммы. В случае, если ряд не удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, эта оценка обычно более трудоемка.

Пример12. Вычислить с погрешностью, не превосходящей  сумму ряда

Очевидно, что ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница.

Поскольку у этого ряда , то . Отбросив этот остаток из суммы ряда, получим, что с требуемой точностью

.

 Абсолютная и условная сходимость рядов.

Пусть имеется произвольный числовой ряд:

                                                                                           (11)

и ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

                                                     .                                        (12)

Определение. Ряд (10) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (12). Если ряд (11) сходится, а (12) расходится, то ряд (10) называется условно сходящимся.

Пример13. Ряд  сходится абсолютно, так как сходится ряд из абсолютных величин членов этого ряда (это ряд Дирихле с ).

Пример14. Выше было проверено, что ряд

                                                                                   (13)

сходится согласно принципу Лейбница. Ряд из абсолютных величин его членов есть расходящийся гармонический ряд .

Поэтому ряд (13) сходится условно.

Теорема 8. Если ряд (10) сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. Пусть -частичная сумма ряда (10),  сумма положительных слагаемых из , а  сумма модулей отрицательных слагаемых из . Тогда

Пусть - частичная сумма ряда из абсолютных величин (12) и  его сумма, тогда .Поскольку положительные последовательности  и  возрастают, и ограничены сверху, то имеются пределы    и , следовательно, существует предел , что означает, что ряд (10) сходится. 

Если все члены ряда положительны или ряд имеет только конечное число отрицательных членов, то сходимость такого ряда может быть только абсолютной. Условие «исследовать сходимость ряда» для ряда общего вида означает установление факта сходимости этого ряда и, в случае сходимости, проверку того, как сходится этот ряд - абсолютно или условно.

Необходимость этого объясняется существенно различными свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов.

Теорема 9. При любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда эта сходимость не нарушается и сумма ряда не изменяется.

Казалось, что свойство «от перемены мест слагаемых сумма не меняется» должно выполняться всегда. Однако, для бесконечных сумм это не всегда так.

Пример 15. Рассмотрим условно сходящийся ряд

.

 

Согласно признака Лейбница его сумма

Переставим слагаемые в этом ряду следующим образом 

Подсчитав значения, стоящие в скобках, получим ряд

,

члены которого в два раза меньше членов исходного ряда. Значит, после указанной перестановки сумма ряда изменилась и стала равна .

Теорема 10. Если числовой ряд сходится условно, то для любого числа А можно так переставить члены этого ряда, что сумма полученного ряда станет равной А, кроме того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что он станет расходиться.

Основная литература:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М.:Наука,1985г. (стр. 263-266)

2. Гусак А.А. Высшая математика Т.2. Мн.: Тетро Системс, 2001г. (стр. 127-135)

Контрольные вопросы:

1. Определение знакопеременного ряда.

2. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. 

3. Абсолютная и условная сходимости.

4. Признак абсолютной сходимости.