Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Пусть ряд равномерно сходится в промежутке и все его члены непрерывны в , тогда сумма этого ряда также непрерывна в . Доказательство. Пусть внутренняя точка в . Из того, что и непрерывны в следует, что для каждого найдется такой номер , что выполняется неравенство для всех . Кроме того, найдется число , такое что для всех выполняется неравенство . Используя эти два неравенства, получаем, что для всех верно что означает верность равенства и непрерывность в . Случай граничной точки рассмотрите сами. В следующей лекции будет приведен пример неравномерно сходящегося ряда с непрерывными слагаемыми, сумма которого разрывна. 2) Пусть ряд равномерно сходится в отрезке и имеет сумму . Пусть все члены ряда непрерывны в отрезке тогда интеграл по от суммы ряда равен сумме интегралов от его слагаемых, т.е. Из свойства 1) следует, что и непрерывны на . Проинтегрировав соотношение , получим . (16) Поскольку и , то .Перейдя в равенстве (10.16) к пределу при , получим требуемое утверждение. Пример 20. Выше было проверено, что геометрическая прогрессия равномерно сходится в промежутке и имеет сумму . Применив свойство 2) к отрезку , получим, что .Вычислим записанные интегралы . Следовательно, .Этот пример показывает, что с помощью почленного интегрирования можно находить суммы числовых рядов. 3) Пусть члены сходящегося в ряда непрерывно дифференцируемы в промежутке и -сумма этого ряда. Пусть ряд, составленный из производных ряда ,равномерно сходится в , тогда сумма ряда из производных равна производной , т.е. . Обозначим сумму ряда через . Согласно предыдущему свойству проинтегрируем на отрезке , где , получим .Продифференцируем по левую и правую части этого равенства, получим , . Пример21. Рассмотрим сходящуюся геометрическую прогрессию на промежутке . Сумма этого ряда .Ряд из производных записывается в виде и мажорируется сходящимся рядом . (Проверьте сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера). Поэтому ряд из производных равномерно сходится в отрезке . Согласно свойству 3) получим .С помощью дифференцирования также можно находить суммы числовых рядов. Например, подставив в последнее соотношение , получим .
Основная литература: 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М.:Наука,1985г. (стр. 266-275) 2. Гусак А.А. Высшая математика Т.2. Мн.: Тетро Системс, 2001г. (стр. 135-146) Контрольные вопросы: 1. Определение функционального ряда. 2. Область сходимости. 3. Равномерная сходимость функциональных рядов. 2.2.11. Тема: Степенные ряды. (1-часа) Степенные ряды, т.е. ряды, члены которых есть степенные функции, являются одним из основных примеров функциональных рядов. Определение. Функциональный ряд вида (17) называется степенным рядом, а числа называются его коэффициентами. Степенной ряд всегда сходится при . Следующая теорема описывает его область сходимости. Теорема 1. (Теорема Абеля) а) Если степенной ряд (17) сходится в точке (), то он сходится для всех из интервала (см. рис. 3,а)). б) Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится для всех , удовлетворяющих неравенству (см. рис.3,б)). Рис. 3, а). Рис. 3, б). а) Так как ряд сходится, то согласно необходимому признаку , откуда следует, что последовательность ограничена, т.е. существует число , такое что . Пусть . Рассмотрим абсолютную сходимость ряда . Получим . (18) Обозначим через , где и . Сравнивая с помощью первого признака сравнения ряд (18) и сходящуюся геометрическую прогрессию , получаем, что (18) сходится. Допустим, что найдется такое, что для которого ряд (10.17) сходится. Тогда согласно пункту а) поскольку он должен сходится в точке . Противоречие. Определение. Наибольшее значение такое, что в интервале степенной ряд (10.17) сходится, называется радиусом сходимости этого ряда (обозначается через ), а интервал называется его интервалом сходимости. Из теоремы Абеля следует, что в интервале ряд (10.17) сходится, а в интервалах и он расходится (см. рис. 4).
сходится расходится расходится
Рис. 4. Сходимость ряда в точке исследуется дополнительно. Если ряд сходится только в точке , то считается равным , а если он сходится для всех , то считается равным . Для определения радиуса сходимости имеются следующие формулы, получаемые из признаков Даламбера и Коши. , (19) (20) Однако проще находить интервал сходимости путем непосредственного применения признаков Даламбера или Коши к абсолютным величинам членов ряда (17). Пример22. Найдем область сходимости ряда . Исследуем абсолютную сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера, получим .Отсюда получаем, что при , т.е. в интервале (-1,1) этот ряд сходится, а при , т.е. в интервалах и он расходится. Поэтому радиус сходимости ряда и интервал сходимости есть (-1,1). Исследуем концы этого интервала. Подставив в ряд, получим числовой ряд , который является гармонический расходящимся рядом. Подставив , получим знакочередующийся ряд .Выше с помощью признака Лейбница было проверено, что он сходится. Окончательно получаем, что область сходимости исследуемого ряда есть Теорема 2. Пусть отрезок лежит в интервале сходимости степенного ряда ,тогда в этот ряд сходится абсолютно и равномерно. Пусть для определенности . Для этот ряд сходится. Далее повторяем доказательства а) теоремы Абеля для . Перенесем теперь рассмотренные выше свойства равномерно сходящихся рядов на случай степенных рядов. Свойства степенных рядов. Сумма степенного ряда (17) непрерывна в интервале сходимости . Это следует из того, что любое можно заключить в отрезок , в котором ряд (17) сходится равномерно. 1) Пусть - сумма степенного ряда (17 ) и отрезок лежит в интервале сходимости , тогда . Здесь в правой части равенства стоит сумма интегралов членов ряда (17) . 3) Производная суммы степенного ряда (17) в интервале сходимости равна сумме степенного ряда, составленного из производных членов ряда (17), т.е. . Здесь мы оставили без доказательства тот факт, что ряд из производных ряда (17) имеет тот же интервал сходимости . 4) Сумма степенного ряда (17) в интервале бесконечно дифференцируема. Это следует из того, что согласно свойству 3) является суммой степенного ряда, поэтому операцию дифференцирования можно провести еще один раз, снова является суммой степенного ряда в и т.д. Определение. Функциональный ряд (21) называется смещенным степенным рядом с центром в . Если обозначить через , то смещенный степенной ряд превращается в степенной ряд вида (10.17). Поэтому ряд (10.21) имеет интервал сходимости вида и в этом интервале обладает всеми свойствами степенных рядов. Основная литература: [1], стр. 406-416 Дополнительная литература:: [15]часть II стр. 131-139 Контрольные вопросы: 1. Определение степенных рядов. 2. Радиус сходимости степенного ряда. 3. Область сходимости степенного ряда.
2.2.12. Тема: Ряды Тейлора (2-часа) Выше было показано, что сумма степенного ряда является бесконечно дифференцируемой функцией. Рассмотрим теперь обратную задачу о том, как заданную функцию записать в виде суммы некоторого степенного ряда. Такая запись позволит приближенно находить значения этой функции, приближенно интегрировать ее, численно решать дифференциальные уравнения и т.д. Пусть функция имеет производные до -го порядка включительно в окрестности точки . Определение. Многочленом Тейлора - го порядка функции в точке называется многочлен
Здесь считается равным и . Основное свойство этого многочлена состоит в следующем. Значения многочлена и всех его производных до -го порядка включительно в точке совпадают с соответствующими значениями функции и ее производных, т.е. ; ; … … …; . При . В самом деле из (22), подставив вместо значение , получим ; Подставив сюда , получим и т.д. . При . Определение. Разность между и называется остаточным членом Тейлора с центром в : Обозначим его через Из (22) следует, что (23) Теорема 1. Пусть функция имеет в окрестности непрерывную - ую производную . Тогда для любого из этой окрестности найдется такая точка или , что (24) При доказательстве воспользуемся теоремой Коши четвертого модуля «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Пусть . Несложно проверить, что
(25) . (26) Пусть, для определенности . Рассмотрим отношение .
Здесь в числителе и знаменателе добавлены нулевые величины и . Согласно теореме Коши найдется точка такая, что ,т.е. учитывая (23) и (25) .
Согласно теореме Коши в промежутке найдется точка такая, что
, . Продолжая этот процесс раз получим, что (27). Обозначим через , заменим согласно (26) на , а . В результате из (27) получаем ,что и доказывает требуемое утверждение. Определение. Остаточный член записанный в виде (24 ) называется остаточным членом в форме Лагранжа, а запись функции в виде (28)
называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Остаточный член здесь имеет тот же самый вид, что и слагаемые многочлена Тейлора, только в -ой производной вместо стоит близкая к ней точка . Многочлен Тейлора используется для приближенного нахождения значения функции в точке , при этом является погрешностью этого вычисления. Однако часто вместо многочленов удобно использовать ряды. Определение. Пусть функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки . Рядом Тейлора для функции с центром в точке называется смещенный степенной ряд (29) Частичная сумма этого ряда является многочленом Тейлора . (здесь и далее состоит из слагаемых). Не следует думать, что сумма ряда Тейлора всегда совпадает с функцией , по которой он был построен, во-первых потому, что область определения функции может не совпадать с областью сходимости ряда, а во-вторых, даже в случае существования и , эти значения могут отличаться друг от друга. Теорема 2. Пусть функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки , и пусть для всех из этой окрестности остаточный член Тейлора стремится к нулю при , тогда ряд Тейлора функции с центром в сходится в , и его сумма совпадает в со значениями функции . В этом случае говорят, что функция разлагается в ряд Тейлора в окрестности . Учитывая, что запишем формулу Тейлора (28) для
, или . Перейдем в этом соотношении к пределу при получим .
Поскольку предел левой части существует и равен , , то существует предел частичных сумм ряда (29), стоящий в правой части, т.е. что и требовалось доказать. Определение. Ряд Тейлора с центром в точке называется рядом Маклорена этой функций. Ряд Маклорена имеет вид (30) а остаточный член Тейлора в форме Лагранжа (31) где или .
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-15; просмотров: 44; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.152.214 (0.072 с.) |