тригонометрических функций в произведение

         

sinα + sinβ = 2∙sin  ∙ cos    sinα - sinβ = 2∙sin  ∙ cos

cosα + cosβ = 2∙cos  ∙ cos      cosα - cosβ = - 2∙sin  ∙ sin

 

Задание 1: Вычислить по аналогии:

1)	Cos105º+cos75º= =2∙cos  ∙ cos = = 2∙cos 15º ∙ cos 90º= = 2∙cos 15º ∙ 0=0	1)	Sin105º - sin75º
2)	Sin300º + sin60º= =2∙sin  ∙ cos  = = 2∙sin 180º ∙ cos120º= =2∙0∙ cos120º=0	2)	Cos105º + cos165º

Задание 2: Упростить:

1) sin (30° + α) + sin (30° — α)=

 

 

2) sin(^π / ₃ + α)— sin(^π / ₃ — α)=

 

 

Задание 3: Упростить выражения.

1) sin 12° • cos 18° + sin 18° • cos 12°;
2) sin 65° • sin 55° + cos 65° • cos 55°;
3) sin 4,25 • cos 1,11 — sin 1,11 • cos 4,25;
4) sin ^3π/₇ • sin ^5π/₂₁ — cos ^3π/₇ • cos ^5π/₂₁

5) sin α — sin (α + β) + cos α • cos (α + β);
6) sin (15° + α) • cos (15° — α) + sin (15° — α) • cos (15° + α).

Задание 4: Доказать тождества.

1) sin (α + β) + sin (α — β) = 2 sin α • cos β;
2) sin (α + β) — sin (α — β) = 2cos α • sin β.

3) cos (α — β) + cos (α + β) = 2 cos α • cos β;
4) cos (α — β) — cos (α + β) = 2 sin α • sin β.

5) sin (α + β) • sin (α — β) = sin² α — sin² β;
6) cos (α + β) • cos (α — β) = cos² α — sin² β.

 

Историческая справка

Тригонометрические функции (получившие название от греч. trigonon – треугольник и meteo – измеряю) играют огромную роль в математике и ее приложениях.

Исследованием тригонометрических функций практически занимались ещё древнегреческие математики, изучая взаимное изменение величин в геометрии и астрономии. Соотношения между сторонами в прямоугольных треугольниках, по своей сути являющиеся тригонометрическими функциями, рассматривались уже в III в. до н.э. в работах Евклида, Архимеда, Аполлония и других ученых.

Учения о тригонометрических величинах получило развитие в VIII-XV вв. в странах Среднего и Ближнего Востока. Так, в IX в. в Багдаде аль-Хорезми составил первые таблицы синусов. Аль-Бузджани в X в. сформулировал теорему синусов и с её помощью построил таблицу синусов с интервалом 15’, в которой значения синусов приведены с точностью до 8-го десятичного знака. Ахмад-аль-Беруни в XI в. вместо деления радиуса на части при определении значений синуса и косинуса, сделанного до него Птоломеем, начал использовать окружность единичного радиуса. В первой половине XV в. аль-Каши создал тригонометрические таблицы с шагом 1’, которые последующие 250 лет были непревзойдёнными по точности. Самым крупным европейским представителем той эпохи, внесшим вклад в развитие исследования тригонометрических функций, считается Региомонтан.

В начале XVII в. в развитии тригонометрии наметилось новое направление – аналитическое. Если до этого учения о тригонометрических функциях строились на геометрической основе, то в XVII-XIX вв. тригонометрия постепенно вошла в состав математического анализа и стала широко использоваться в механике и технике, особенно при рассмотрении колебательных процессов и иных периодических явлений.

О свойствах периодичности тригонометрических функций знал ещё Ф. Виет. Швейцарский математик И. Бернулли (1642-1727) в своих работах начал применять символику тригонометрических функций. Однако близкую к принятой теперь ввел Л. Эйлер в 1748 г. в своей работе «Введение в анализ бесконечных». В ней он рассмотрел вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента.

Тригонометрические функции Эйлер рассматривал как особые числа, называя их общим термином трансцендентные количества, получающиеся из круга.

В 19 в. дальнейшее развитие теории тригонометрических функций было продолжено в работах русского математика Н.Л.Лобачевского (1792-1856), а также в трудах других ученых, например в работах профессоров МГУ Д.Е. Меньшова и Н.К. Бари.

 

 

Тема 9. Функция у = sin х, её свойства и график

Основные свойства:

1) Область определения – множество R всех действительных чисел;

2) Множество значений – отрезок[-1;1];

3) Функция у=sinх – периодическая с периодом 2π, т.е. sin(х+2π)=sinх

4) Функция у=sinх - нечётная, т.е.sin(-х)=-sinх

5) Функция у=sinх:

возрастает на отрезках

убывает на отрезках

6) Функция у=sinх принимает

Наибольшее значение, равное 1, при х=

Наименьшее значение, равное –1, при х=-

Значение равное нулю, при х=

 

Задание 1: Изобразить график функции у=2+sinx

 

Тема 10. Функция у = cos х, её свойства и график

Основные свойства:

1) Область определения – множество R всех действительных чисел;

2) Множество значений – отрезок[-1;1];

3) Функция у=cosх – периодическая с периодом 2π, т.е. cos(х+2π)=cosх

4) Функция у=cosх чётная, т.е.cos(-х)=cosх

5) Функция у=cosх:

возрастает на отрезках

убывает на отрезках

6) Функция у=cosх принимает

Наибольшее значение, равное 1, при х=

Наименьшее значение, равное –1, при х=

Значение равное нулю, при х=

 

Задание 1: Изобразить график функции у=cos2x

Тема 10. Функция у = tg х, её свойства и график

Основные свойства:

1) Область определения – множество R всех действительных чисел, кроме чисел ;

2) Множество значений – множество R всех действительных чисел;

3) Функция у=tgх – периодическая с периодом π, т.е. tg(х+π)=tgх

4) Функция у=tgх нечётная, т.е.tg(-х)=-tgх

5) Функция у=tgх возрастает(убывает)  на интервалах ,

6) Функция у=tgх принимает значение равное нулю, при х=

 

 

Функция у = с tg х, её свойства и график

Основные свойства:

1) Область определения – множество R всех действительных чисел, кроме чисел ;

2) Множество значений – множество R всех действительных чисел;

3) Функция у=сtgх – периодическая с периодом π, т.е. сtg(х+π)=tgх

4) Функция у=сtgх нечётная, т.е.tg(-х)=-tgх

5) Функция у=сtgх возрастает (убывает)  на интервалах

,

6) Функция у=сtgх принимает значение равное нулю, при х=

 

Проверь себя!

1. Вычислить sinα,tgα, cos2α, если cosα=-

2. Найти значение выражения:

1)cos135º

2)sin

3) tg

4)cos2 -sin2

3. Доказать тождество:

1) 3cos2α-sin2α+cos2α=2cos2α

2)

4. Упростить выражение:

1) sin(α-β)-sin( -α)sin(-β)

2)cos2(π-α)-cos2( -α)

3)2sinαcosβ+cos(α+β)

 

Контрольная работа

 

Уровень А:

1) Найти значение выражения:

а) cos +tg -sin

б) 2cos60º-tg45º

в) 2tg45º+5ctg270º-3sin180º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если:

а) sinα= , 0<α<

б) cosα=-0,6, <α<π

3) Упростить:

а) sin²α-tgα∙ctgα+cos²α

б)

Уровень В:

 

1) Найти значение выражения:

а) 2cos + 4sin  -3ctg

б) cos100º+cos80º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если:

а) cosα=- , π<α<

б) ctgα=5, <α<π

3) Упростить:

а) (tgα∙ctgα+tg²α)∙ sin²α

б) (1-cos²(-α))∙(1+tg²(-α))

Уровень С:

 

1) Найти значение выражения:

а) sin155º-sin25º

б) sin20º∙cos10º+cos20º∙sin10º

в) cos20º∙cos40º-sin20º∙sin40º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если tgα=-4, <α<π

3) Упростить:

а)  

б)

в) sin⁴(-α)+cos²(-α)- cos⁴(-α)

 

Подготовка к Единому Государственному экзамену (ЕГЭ)

Прототипы задания В7

Задания по теме «Тригонометрические функции» В ЕГЭ – задачи на преобразование и вычисление  тригонометрических выражений. И 

2.

1.

Тренировочная работа №1

Задание В7: Найти значение выражения

Выражение