Применение производной в математике

Производная в математике показывает числовое выражение степени изменений величины, находящейся в одной и тоже точке, под влиянием различных условий.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос – на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия – применяет её в своих трудах.

Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Затем производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др.

Методами дифференциального исчисления можно проводить исследование функции на монотонность, на экстремумы, что помогает при построении графиков функций.

Прежде всего, остановимся на геометрическом смысле производной. Как известно, производная функции в точке х₀ равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции, проведенной в точке х, то есть

,

 – угол наклона касательной к графику  в точке .

Заметим, что угол – это угол между прямой и положительным направлением оси Ох.

 

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀ имеет вид:

y = f(x₀) + f’(x₀)(x – x₀)

В этом уравнении:

x₀ – абсцисса точки касания,

f(x₀) – значение функции y = f(x) в точке касания,

f’(x₀) – значение производной функции y = f(x) в точке касания.

Приведем пример решения задачи

Пример 3.

Написать уравнение касательной к кривой y= x² – 3 x + 4 в точке с абсциссой x₀ = 0.

Решение.

Находим значение функции в заданной точке:

y(x₀) = y(0) =4

Далее вычислим значение производной функции в точке x₀ = 0:

y’= (x² – 3x + 4)’ =(x²)’ – (3x)’ + (4)’= 2x – 3 Þ

y’(0) = – 3,

а тогда уравнение касательной запишется в виде:

y = 4 – 3(x – 0) или после упрощения:

y = – 3 x +4

Ответ. Уравнение касательной: y = – 3 x +4

 

Применение производной к исследованию функций

Условия монотонности функции

Если функция  непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b) и  для х Î(a; b) {  для х Î(a, b)}, то функция  возрастает {убывает} на [ a, b ].

Исследование функции на экстремум

Точка х=х₀ называется точкой минимума функции , если существует некоторый интервал , в каждой точке х которого  (точка х₀ на рис. 1а, 1б).

Точка х₀ называется точкой максимума функции , если существует некоторый интервал , в каждой точке х которого

(точки b, l на рис. 2).