Применение производной в механике

Задачи:

- Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.

- Проверить уровень сформированности навыка нахождения производных, способствовать выработке навыков в применении производной к решению физических задач.

- Развивать логическое мышление, память, внимание, самостоятельность, коммуникативные навыки во время совместной работы

Результаты освоения УУД:

Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности;

Регулятивные: умения определять и формулировать цель, проговаривать последовательность действий, оценивать правильность выполнения действий на уровне адекватной ретроспективной оценки, планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей, высказывать свое предположение;

Коммуникативные: умения оформлять свои мысли в устной форме, слушать и понимать речь других студентов;

Познавательные: умения ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного), добывать новые знания.

Интегративные связи: физика, геометрия и все предметы, где используется математический аппарат.

Литература 

Основная

1. Шкиль Н.И. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала анализа

математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — К.: Зодиак-ЭКО, 2014.

2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала анализа. Геометрия. 

(базовый и углубленный уровни). 10—11классы. — М., 2014.

Дополнительная

3. Башмаков М. И. Математика: кн. для преподавателя: метод. пособие. — М., 2013.

4. Башмаков М. И., Цыганов Ш. И. Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ

 

Практическое занятие №12 « Приложение производной к решению задач физики, механики, электромеханики »

Теоретическая часть

 

 Повторение полученных знаний: определение производной, геометрический смысл производной, значение и применение производной.

Термин «производная» – это буквальный перевод на русский derivee. Этот термин ввел Лагранж в 1797 году. А само понятие, задолго до Лагранжа, независимо друг от друга, ввели и активно использовали, заложив фундамент нового исчисления, Лейбниц и Ньютон. Раздел математики, который изучает производные функции и их применения, называется (дифференциальным исчислением).

Что называется производной функции в точке? Ответ: производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношенияприращения функции в точке х₀ к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления. Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл. 

В чем заключается геометрический смысл производной? Ответ: Геометрический смысл производной заключается в следующем: если к графику функции y=f(x) в точке x_oможно провести касательную, не параллельную оси y, то f^′ (x_o) выражает угловой коэффициент касательной.

В чем состоит физический смысл производной?Ответ: Физический смысл производной заключается в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости есть ускорение.

 

Применение производной в физике очень обширно. Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, медицине, экономики, физики, а также и в быту. Сегодня мы рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной.

Мы уже знаем, что производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В математике производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в биологии – скорость размножения микроорганизмов, в химии – скорость химической реакции. Среди многих задач наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций.

Практическая часть

Пример 1.

Найти скорость движения материальной точки в конце 3-й секунды, если движение точки задано уравнением

S = t² –11t + 30

Решение:

V = S′(t)

V (t) = (t² –11t + 30)′= 2 t – 11

V (3) =2 ×3 -11= - 5 (м/с)

Кинетическая энергия

Пример 2.

Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону S = 2t²+ 3t – 1.

Найти кинетическую энергию тела через 3 секунды после начала движения.

Решение:

Найдем скорость движения тела в любой момент времени:

V = S′(t)

V (t) = (2t²+ 3t – 1)′= 4 t + 3

Вычислим скорость тела в момент времени t = 3:

V (3) =4 ×3 + 3 = 15 (м/с)

Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3:

=(8 ×15²)/2=900 (Дж)

Пример 4.

Исследовать функцию  на экстремум и построить схематично график.

Решение.

1) Найдем .

2) Найдем точки, в которых (функция дифференцируема для всех х).

.

3) В данном случае удобно воспользоваться исследованием знака  на числовой прямой.

Таким образом, в точке х= 1 нет экстремума, но в этой точке , то есть касательная параллельна оси Ох, .

Чтобы построить график, найдем дополнительные точки.

Точки пересечения с осью Ох:

 Û  Û

.

 или

 – уравнение не имеет решений.

Строим график.

 

 

1. Решение задач.

Задача 1

Дано уравнение прямолинейного движения тела:

S=3t²-5t+2, гдеS- путь, пройденный телом, м; t- время, с.

Найдите скорость тела в момент времени t=4 c.

Задача 2

Задача 3

Пусть q= 3t² - 5t +8 - количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время.

Найти силу тока в данный момент времени =3c.

Задача 4

Пусть дан неоднородный стержень длины, масса неоднородного стержня меняется по закону: m=3x² -5x +12. 

Найти линейную плотность стержня в данной точке =4

Проверка знаний. Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа по вариантам, совместная проверка, используя презентацию (слайд 20-21).

Задачи:

- Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.

- Проверить уровень сформированности навыка нахождения производных, способствовать выработке навыков в применении производной к решению физических задач.

- Развивать логическое мышление, память, внимание, самостоятельность, коммуникативные навыки во время совместной работы

Результаты освоения УУД:

Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности;

Регулятивные: умения определять и формулировать цель, проговаривать последовательность действий, оценивать правильность выполнения действий на уровне адекватной ретроспективной оценки, планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей, высказывать свое предположение;

Коммуникативные: умения оформлять свои мысли в устной форме, слушать и понимать речь других студентов;

Познавательные: умения ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного), добывать новые знания.

Интегративные связи: физика, геометрия и все предметы, где используется математический аппарат.

Литература 

Основная

1. Шкиль Н.И. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала анализа

математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — К.: Зодиак-ЭКО, 2014.

2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала анализа. Геометрия. 

(базовый и углубленный уровни). 10—11классы. — М., 2014.

Дополнительная

3. Башмаков М. И. Математика: кн. для преподавателя: метод. пособие. — М., 2013.

4. Башмаков М. И., Цыганов Ш. И. Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ

 

Практическое занятие №12 « Приложение производной к решению задач физики, механики, электромеханики »

Теоретическая часть

 

 Повторение полученных знаний: определение производной, геометрический смысл производной, значение и применение производной.

Термин «производная» – это буквальный перевод на русский derivee. Этот термин ввел Лагранж в 1797 году. А само понятие, задолго до Лагранжа, независимо друг от друга, ввели и активно использовали, заложив фундамент нового исчисления, Лейбниц и Ньютон. Раздел математики, который изучает производные функции и их применения, называется (дифференциальным исчислением).

Что называется производной функции в точке? Ответ: производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношенияприращения функции в точке х₀ к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления. Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл. 

В чем заключается геометрический смысл производной? Ответ: Геометрический смысл производной заключается в следующем: если к графику функции y=f(x) в точке x_oможно провести касательную, не параллельную оси y, то f^′ (x_o) выражает угловой коэффициент касательной.

В чем состоит физический смысл производной?Ответ: Физический смысл производной заключается в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости есть ускорение.

 

Применение производной в физике очень обширно. Математические задачи с практическим содержанием – это такие задачи, которые связаны с применением математики в технике, химии, медицине, экономики, физики, а также и в быту. Сегодня мы рассмотрим задачи, которые можно решить с помощью производной.

Мы уже знаем, что производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В математике производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в биологии – скорость размножения микроорганизмов, в химии – скорость химической реакции. Среди многих задач наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций.

Применение производной в механике

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

S = S(t) V = S′(t) = x′(t),   a = V′(t) = S″(t)

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость.

Алгоритм нахождения скорости тела с помощью производной.

Если закон движения тела задан уравнением s = s (t), то для нахождения мгновенной скорости тела в какой-нибудь определенный момент времени надо:

1.Найти производную v = s '(t).

2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени.

Производная в электротехнике

В наших домах, на транспорте, на заводах: всюду работает электрический ток.

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

 Сила есть производная работы по перемещению, т.е. F=A ^/(x)

Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q^/(t)

d(l)=m^/(l) - линейная плотность

K (t) = l ^/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ^/(t) - угловая скорость

а (t)= ω^/(t) - угловое ускорение

N(t) = A^/(t) – мощность  

Если внимательно изучить вопрос применения производной в других областях, то можно составить вот такую таблицу:

• Мощность – это производная работы по времени P = A' (t).
• Сила тока – производная от заряда по времени I = q' (t), где q – положительный электрический заряд переносимый через сечение проводника, за время t.
• Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x).
• Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре
  C = Q' (t).
• Давление – производная силы по площади P = F'(S)
• Скорости течения химической реакции – производная количества вещества, вступающего в реакцию от времени V= m’(t).

 

Практическая часть

Пример 1.

Найти скорость движения материальной точки в конце 3-й секунды, если движение точки задано уравнением

S = t² –11t + 30

Решение:

V = S′(t)

V (t) = (t² –11t + 30)′= 2 t – 11

V (3) =2 ×3 -11= - 5 (м/с)

Кинетическая энергия

Пример 2.

Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону S = 2t²+ 3t – 1.

Найти кинетическую энергию тела через 3 секунды после начала движения.

Решение:

Найдем скорость движения тела в любой момент времени:

V = S′(t)

V (t) = (2t²+ 3t – 1)′= 4 t + 3

Вычислим скорость тела в момент времени t = 3:

V (3) =4 ×3 + 3 = 15 (м/с)

Определим кинетическую энергию тела в момент времени t = 3:

=(8 ×15²)/2=900 (Дж)