Метод Ньютона для нахождения корня нелинейного уравнения

Основными методами решения нелинейных уравнений являются: метод простой итерации, метод деления пополам, метод Ньютона. Из этих методов наиболее оптимальным с точки зрения быстродействия и точности является метод Ньютона.

Для решения уравнения этим методом необходимо знать начальное значение X0 функции и точность E с которой его нужно решить.

 

Алгоритм решения:

1) приводим функцию к виду

2) присваиваем X значение Х0;

3) вычисляем    

4) находим первую производную функции  и её значение

5) вычисляем значение ;

6) присваиваем х = х -

7) проверяем условие , если оно выполняется, то корень найден, иначе переходим к пункту №3.

 

 

Метод Крамера для решения системы линейных уравнений

  Система линейных уравнений:

 

a₁x + b₁x₂= c₁

a₂x + b₂x₂ = c₂,

 

  Имеет одно решение (x ₁, x ₂), если система является невырожденной т.е. выполняется неравенство:

                                                      a ₁ b ₂ - a ₂ b ₁ ≠0,     

                                           

   Тогда решение можно найти по общим формулам:

 

 

Алгоритм Горнера для вычисления значений функции

Известно, что полином в общем виде записывается следующим образом:

Y=An*X^n+ A(n-1)*X^(n-1)+…A1*X+A0.

Горнер предложил переиндексировать коэффициенты многочлена:

Y=A1*X^n+ A(n-1)*X^(n-1)+…An*X+A(n+1).

Далее он предложил разложить многочлен и представить в виде:

Y=(…(A1*X+A2)*X +A3)*X+…A1)*X+A(n+1).

Исходя из такого представления, он предложил алгоритм, который еще называют схемой Горнера:

-все коэффициенты A1, A2,…,A(n+1) представить в виде элементов массива;

-должны учитываться все коэффициенты. Если они отсутствуют в полиноме, то их надо все равно использовать, считая их равными нулю;

-до цикла FOR-NEXT взять значения y=A(1);

-цикл по управляющей переменной организовывать с I=2 до X+1;

-в цикле использовать формулу:

     Y=Y*X+A(I).

Если все значения Y надо сохранить, то Y следует организовать тоже как массив.

 

 

Понятие машинного и реального времени

 

Существует два пути, по которым можно производить реализацию программы: либо в темпе быстродействия ЭВМ (при этом время задержки напрямую зависит от частоты процессора), либо в реальном времени.

Машинное время является относительным, так как зависит от быстродействия ЭВМ,отиспользуемого языка, от сложности алгоритма и т. д.

Моделирование в реальном времени дает возможность оценивать эффективность алгоритмов для работы в реальных системах.

Дискретизация времени

 

При реализации программы в реальном времени непрерывные процессы заменяются на дискретные. При этом временной интервал t представляется как совокупность дискретных интервалов:

t = nT_k,

где T_k – время квантования или период квантования (квант); n – количество шагов или квантов.