Применение в механике грунтов решений механики сплошной среды

Благодаря представлению грунта как сплошной среды вводят бесконечно малый элемент длины, бесконечно малую площадку, бесконечно малый объем грунта, не вступая в противоречие с конечностью диаметров реальных малых частиц грунта, что позволяет использовать мощный аппарат математического анализа. Использование гипотезы сплошности в механике грунтов позволило сразу же перенести в нее целый ряд решений, полученных в механике сплошной среды.

Напряженное состояние. Напряженное состояние полностью определяется девятью компонентами напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела, образующими симметричный тензор второго ранга (тензоры – математические или физические объекты, компоненты которых при повороте осей координат преобразуются по определенному правилу) причем в силу закона парности касательных напряжений имеется только 6 независимых компонент.

 ,                                            (3.1)

В формуле (3.1) , , - нормальные, а , , - касательные напряжения на площадках, перпендикулярных к координатным осям x, y, z.

В каждой точке среды существуют такие три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Направления нормалей к этим площадкам образуют главные направления тензора напряжения и не зависят от исходной системы координат x, y, z, а соответствующие нормальные напряжения называют главными. В механике грунтов принято положительными считать сжимающие напряжения. Обозначают главные напряжения через , , , а соотношение между ними должно быть таким, что

.                                          (3.2)

Тензор напряжений, отнесенный к главным осям, имеет вид

 .                                  (3.3)

Тензор напряжения можно задать, указав главные напряжения , ,  и главные направления 1,2,3. Главные напряжения являются корнями кубического уравнения

.                           (3.4)

Величина  называется средним (или гидростатическим) давлением в точке.

Девиатор напряжений. Так, как большинство материалов обладают различными механическими свойствами по отношении к сдвигу и равномерному всестороннему сжатию, то часто представляют тензор напряжений в виде суммы

 ,                                             (3.5)

где  - шаровой тензор, соответствующий равномерному всестороннему сжатию в точке;

 - единичный тензор;

 - тензор, характеризующий касательные напряжения в данной точке и называемый девиатором напряжения.

В механике сплошной среды очень употребительно приведенное напряжение (интенсивность напряжений), равное с точностью до постоянного числового множителя корню квадратному из второго инварианта девиатора напряжений

.        (3.6)

Вид пространственного напряженного состояния, т.е. соотношения между главными напряжениями, определяется предложенным В.Лоде и А. Надаи параметром

,                                 (3.7)

характеризующим положение точки  на диаграмме Мора и теряющим смысл только в случае гидростатического давления.

Тензорные обозначения. При рассмотрении общих вопросов механики сплошных сред использование тензорных обозначений упрощает изложение и делает его более ясным.

Декартовы координаты , ,  будем обозначать через , ,  и записывать их как , где индекс i принимает значения 1,2,3. Через  (или ) обозначим составляющие единичного вектора нормали к площадке.

Компоненты тензора напряжения можно обозначить через , =1,2,3, причем . Соотношения между тензорными и «техническими» обозначениями таковы: ,  и т.д.

Среднее давление равно .

Тензор деформации. Пусть при деформации среды точки ее получили смещение , составляющие которого обозначим через , , . Деформация среды характеризуется симметричным тензором деформации

,                                 (3.8)

составляющие которого равны

      (3.9)

Тензор деформации, как и всякий симметричный тензор, приводится к главным осям:

.                                  (3.10)

В случае малой деформации компоненты , , , , ,  малы по сравнению с единицей, тогда в (3.9) можно пренебречь квадратами удлинений и сдвигов, тогда получим

; ; ;

; ; .        (3.11)

Относительное изменение объема равно .

В тензорных обозначениях будем иметь , где - декартовы координаты, - составляющие вектора перемещения.

Дифференциальные уравнения равновесия. Равновесие элемента определяется приложенными к нему силами; обозначив через  плотность среды, через , ,  - компоненты массовых сил, получим

                          (3.12)

В тензорных обозначениях получим .

Граничные условия. На границе S тела могут быть заданы нагрузки , , . В этом случае на S должны выполняться уравнения

,                                 (3.13)

где , , - составляющие единичного вектора нормали , равные направляющим косинусами , , .

Они будут условиями равновесия элементарного тетраэдра, примыкающего к границе, под действием внутренних и внешних сил.

Могут быть заданы смещения точек границы тела. Наконец, встречаются смешанные граничные условия, когда на границе частично заданы нагрузки, частично – смещения.

Начальные условия. Если процесс деформации является нестационарным и описывается уравнениями, содержащими производные по времени (или по параметру нагрузки), необходимо задать состояние тела в начальный момент времени.

Физические уравнения деформируемых твердых тел. При решении различных задач механики сплошных сред недостаточно одних только уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций. Необходимо знать дополнительно связь между напряжениями и деформациями в каждой точке среды. Эта связь дается физическими уравнениями, определяется физическими свойствами данной среды.

В классической механике сплошных сред широко применяются физические уравнения линейного упругого тела (закон Гука):

                     (3.14)

где  и  - модули упругости первого и второго рода, - коэффициент поперечной деформации. Между этими величинами существует связь:

.                                          (3.15)

Объемный модуль упругости  определяется как отношение среднего напряжения  к объемной деформации .

В то же время .

В тензорной записи уравнения (3.14) имеют вид

.                                           (3.16)

Уравнения линейной теории упругости применимы для грунтов лишь в начальной стадии нагружения, когда соблюдается пропорциональность между напряжениями и деформациями.

Условия применимости теории упругости для определения напряжений в основаниях. Возможность применения решений теории упругости для определения напряжений в основаниях основывается на приближенной аппроксимации связи между напряжениями и деформациями линейными соотношениями вида (3.14), что справедливо для некоторого диапазона допредельных напряженных состояний.

Необходимо, далее, учитывать, что законы деформирования грунта для нагрузки и разгрузки различны. Обычно исходят из того, что для строительной практики характерно именно нагружение.

Наконец, нельзя использовать решения теории упругости в случаях, когда решением предсказываются значительные растягивающие напряжения в грунте, поскольку в действительности грунт практически не может сопротивляться растяжению.