Проекция вектора на вектор, базис и координаты вектора

Возьмем в пространстве упорядоченную тройку взаимно ортогональных единичных векторов i, j, k и совместим ее с декартовой системой координат x, y, z.

i

j

k

x

y

z

O

Такая тройка векторов – переход i ® j ® k осуществляется против часовой стрелки – называется правой тройкой. Тройка векторов в которой переход i ® j ® k осуществляется по часовой стрелке называется левой, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые тройки векторов.

 

Наряду с правой тройкой векторов i, j, k рассмотрим произвольный вектор a и поместим его начало в начало координат. Из его конца опустим перпендикуляры на три координатные плоскости и построим прямоугольный параллелепипед. Длины его сторон, расположенных на координатных осях, обозначим соответственно – . Таким образом, получаем три вектора – .

i

x

j

k

ax i

a

y

z

ay j

az k

Из рисунка видно, что по правилу параллелограмма вектор a можно представить в виде

.

Формула показывает что, любой вектор может быть выражен через тройку векторов i, j, k. Эти вектора являются основными (базисными), а остальные выражаются через них. Говорят, что вектора i, j, k образуют базис. Числа  называются координатами вектора a в заданном базисе.

Диагональ параллелепипеда (модуль вектора a) равна квадратному корню из суммы квадратов трех его измерений. Таким образом, модуль вектора выражается через координаты формулой

.

Обозначим углы между вектором a и векторами i, j, k –  соответственно. Тогда

Величины  называются направляющими косинусами вектора a.

.                               

Возводя равенства в квадрат и складывая, получаем характеристическое свойство направляющих косинусов

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними

.                                            

Два вектора a и b ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю

Выражение скалярного произведения в координатах

С помощью скалярного произведения можно вычислять угол между векторами

или через их координаты

                         

Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется новый вектор c = a ´ b, удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. Модуль вектора c = a ´ b численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b.

2. Вектор c = a ´ b ортогонален векторам a и b.

3. С вершины вектора c = a ´ b поворот от первого сомножителя ко второму виден против часовой стрелки (векторы  образуют правую тройку векторов).

a

b

c=a ´ b

Для того, чтобы векторы a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы векторное произведение было равно нуль–вектору.

Выражение векторного произведения через координаты

                                               

Из этой формулы получается условие коллинеарности векторов, заданных координатами

Векторное произведение двух векторов применяют для вычисления площади параллелограмма, построенного на этих векторах,

для вычисления площади треугольника, построенного на этих векторах,

.