Основные свойства определителей

1. При замене в определителе строк столбцами величина определителя не изменяется

2. Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то определитель изменит свой знак

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя

.

5. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

6. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоторой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число

Минор и алгебраическое дополнение

Рассмотрим прямоугольную матрицу A размера . Выберем в ней какие-либо k строк и k столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k -тогопорядка. Любой из таких определителей называется минором k -того порядка для данной матрицы.

Например, для матрицы

можно образовать миноры третьего, второго и первого порядков (определитель первого порядка – сам элемент). Например

, , .

Рассмотрим теперь определитель n -го порядка.

Минором   для элемента  называется определитель (n – 1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером k.

Алгебраическим дополнением  элемента  называется его минор , умноженный на

.

Например, минор для элемента  в определителе

имеетвид

,

а алгебраическое дополнение равно

.

ПРИМЕР

Для определителя

привести минор M ₂₃ и алгебраическое дополнение A ₁₂.

 

Понятие об определителе любого порядка

Определитель порядка n, составленный для квадратной матрицы размера n, равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:

(разложение по элементам k -того столбца),

(разложение по элементам i -той строки).

 

Решение систем линейных уравнений

Метод Крамера

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

 – главный определитель системы,

 – вспомогательный определитель системы.

 – два других вспомогательных определителя системы.

Формулы

                                                                 

называются – формулами Крамера.

Решение системы можно найти:

,

,

.

 

Замечание:

1. Если , то система имеет единственное решение.

2. Если  и хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система не имеет решения.

3. Если  и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесчисленное множество решений.

Формулы Крамера остаются справедливыми в случае системы п линейных уравнений с п неизвестными.