Модели систем массового обслуживания с отказами

Рассмотрим сначала самую простую одноканальную СМО с отказа­ми. Как отмечалось в 1.2, 1.3, рассмотрение такой простейшей сис­темы целесообразно, так как легко получить аналитические резуль­таты, описывающие динамику СМО, что затруднительно в более общих случаях [2], [3], [5].

Поток заявок, приходящих на вход данной СМО, обслуживается одним прибором. Если прибор занят, то заявка получает отказ и по­кидает систему. В качестве примера можно привести местную теле­фонную станцию с одним каналом выхода в городскую сеть. Размечен­ный граф состояний такой системы изображен на рис. 2.1.

 

 

                        Рис.2.1

 

Здесь s₀ - состояние, при котором обслуживающий прибор свободен, S₁ - состояние, при котором он занят. Вправо (из состояния S₀ в состояние S₁) систему переводит поток заявок с интенсивностью l, а влево - поток обслуживания с интенсивностью m. Будем считать, что оба потока являются пуассоновскими. Тогда время обслуживания является случайной величиной, распределенной по показательному закону с математическим ожиданием Т_об = l/m. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускные способности данной СМО.

Относительная пропускная способность q (см.1.1) может быть оценена как вероятность того, что заявка, пришедшая в СМО, будет обслужена. Очевидно, что это будет вероятность р₀ состояния S₀. Абсолютная пропускная способность А может быть оценена как произ­ведение относительной пропускной способности q на среднее число всех заявок в единицу времени l

                      А = lq.                             (2.1)

Таким образом, чтобы определить все характеристики данной СМО. необходимо знать вероятности состояний р₁ и р₀. Воспользуемся для этого уравнениями Колмогорова. В соответствии с вышеизложенными правилами и свойством вырожденности матриц плотностей вероятнос­тей перехода достаточно написать уравнение для вероятности состояния р₁  и условие нормировки

                            (2.2)

                                                               (2.3)

Начальные условия уравнения (2.2) означают, что в момент запуска СМО обслуживающий прибор свободен. Подставляя (2.3) в (2.2) и решая полученное уравнение при данных начальных условиях, будем иметь:

очевидно, что в соответствии с (2.3) вероятность

Графики функций p₀(t) и p₁(t) представлены на рис.2.2, видно, что при t®¥ вероятности р₀ и p₁ асимптотически стремятся к постоянным значениям. Изменение во времени вероят­ностей состояний называется переходным процессом (аналогично переходным процес­сам в динамических систе­мах). Количественная оценка характеристик СМО, основан­ная на установившихся (пре­дельных) вероятностях состояний, справедлива только лишь для моментов времени t>t_n, где t_n - время переходного процесса, начиная с которого вероятности состояний будут отличаться от своих предельных значений на достаточно малую величину. Это время t_n можно легко оценить с помощью показателя экспоненты -(l+m).

Изложенное дает основание заключить, что установившиеся зна­чения относительной и абсолютной, пропускных способностей данной СМО равны соответственно

                                      (2.4)

 

Вероятность отказа

     `                              (2.5)

 

 

Рис.2.2

 

Ранее отмечалось, что вероятности состояний могут быть определе­ны как средние времена нахождения системы в этих состояниях. Ес­ли - среднее время занятости канала (среднее время нахождения заявки в СМО), а  - среднее время простоя канала, то вероят­ность равна

Так как

Таким образом, зная предельные вероятности состояний, можно определить все характеристики СМО.

Перейдем теперь к более сложной системе - многоканальной системе массового обслуживания с отказами, которая называется системой Эрланга. Размеченный граф состояний СМО Эрланга пред­ставлен на рис.2.3, где S₀ - состояние СМО, при котором все ка­налы свободны; S₁ - один канал занят, остальные свободны; S₂ - два канала заняты, остальные свободны; S_n - все n каналов заняты.

 

Рис. 2.3

 

На вход системы поступает поток заявок с интенсивностью l, кото­рый будем полагать пуассоновским. Очевидно, что этот поток пере­водит систему вправо, поскольку с приходом каждой заявки занима­ются свободные каналы. С другой стороны, на систему от каждого прибора действуют потоки обслуживания, которые также будем пред­полагать пуассоновскими с одинаковой интенсивностью m, так как все каналы одинаковы. Очевидно, что если работают одновременно два прибора, то интенсивность суммарного потока обслуживания бу­дет равна 2/m, а если работают все n каналов, то интенсивность суммарного потока обслуживаний будет равна nm (см. свойство сум­марных потоков (1.31)). Поэтому интенсивности потоков, переводя­щих систему влево, возрастают с увеличением номера состояния.

Задача Эрланга заключается в нахождении вероятностей всех состояний данной СМО и вычислении по ним ее характеристик.

В соответствии с размеченным графом состояний система урав­нений Колмогорова будет иметь вид

p₀’(t) = -lp₀(t)+ mp₁(t),

p₁’(t) = -(l+m)p₁(t)+ lp₀(t)+2mp₂(t)                             (2.6)

…

p_k’(t) = -(l+km)p_k(t)+lp_k-1(t)+(k+1)mp_k+1(t)           (k=l,…,n-l)

…

p_n’(t) = —nmp_n(t)+lp_n-1(t)

с начальными условиями: р₀(0)=1, p_k(0)=0 (k=1,…,n), кото­рые соответствуют случаю, когда все каналы свободны при t=0. При этом решение (2.6) должно удовлетворять условию

Уравнения (2.6) называются уравнениями Эрланга. В общем случае интегрирование системы уравнений Эрланга выполняется с помощью численных методов, реализуемых на ЭВМ, так как аналитическое ре­шение является слишком сложным [4]. Поэтому в дальнейшем ограни­чимся определением вероятностей состояний для установившегося ре­жима.

В соответствии с правилами определения предельных вероятнос­тей состояний процесса размножения и гибели с размеченным графом состояний, изображенным на рис.2.2 (см. (1.15) и (1.16)), запи­шем выражения для предельных вероятностей состояний:

                                      (2.7)

Введем безразмерный параметр r=l/m и назовем его приведенной интенсивностью потока заявок, равной среднему числу заявок, по­ступивших за среднее время обслуживания (Т_ОБ=1/m). Тогда форму­лы (2.7) можно представить в виде

                                       (2.8)

Формулы (2.8) называются формулами Эрланга.

Формулы Эрланга можно выразить через табличные функции рас­пределения Пуассона

                             (2.9)

 

аналогичные дифференциальному и интегральному законам распределе­ния. Так же, как и для нормального распределения, таблицы этих функций имеются в литературе (см., например, [3]). С учетом (2.9) формулы Эрланга (2.8) перепишутся в виде

Определив вероятности состояний, перейдем к вычислению характе­ристик СМО Эрланга.

1) Вероятность отказа будет равна вероятности р_n состояния S_n, когда все каналы заняты:

                                 (2.10)

 

2) Вероятность того, что поступившая заявка будет принята к обслуживанию, является оценкой относительной пропускной способ­ности q:

                (2.11)    

 

3) Абсолютная пропускная способность в соответствии с (2.1)

                                          (2.12)

 

4) Среднее число занятых каналов может быть определено по формуле для расчета математического ожидания случайной величины k, принимающей целочисленные значения с вероятностями p_k:

                         (2.13)

 

Однако в данном случае можно обойтись более простой формулой. Среднее число А заявок, обслуженных в единицу времени, будет рав­но среднему числу занятых каналов k, умноженному на интенсивность потока обслуживания каждого канала m, т.е. А=km, откуда

                              (2.14)

 

Отсюда коэффициент загрузки системы будет равен

                       (2.15)

 

Коэффициент простоя k_n = l-k₃.

5) Определим коэффициент загрузки через вероятность занятос­ти канала - p_ЗК. Эту вероятность можно выразить через среднее время занятости канала и среднее время простоя

                      (2.16)

 

Среднее время занятости канала равно, очевидно, среднему времени обслуживания одной заявки = 1/m. Следовательно, среднее время простоя канала можно найти из выражения (2.16)

                                 (2.17)

 

Формулы (2.10) - (2.17) позволяют рассчитывать характеристики СМО как с применением функций P(k,r) и R(n,r), так и без них.

6) Дисперсия числа занятых каналов будет равна

Модели систем с очередями

Рассмотрим вначале простейшую одноканальную СМО с очередью, число мест в которой ограничено числом m (рис. 2.4). В системе возможны такие состояния: S₀- прибор свободен, очереди нет; S₁ -прибор занят, очереди нет; S₂ - прибор занят, в очереди стоит од­на заявка; S₃ - прибор занят, в очереди стоят две заявки; …; S_m+1 - прибор занят, в очереди стоят m заявок.

 

Рис.2.4

 

Если заявка приходит в момент времени, когда система нахо­дится в состоянии S_m+1, то она получает отказ и покидает систему. Поскольку работает только один прибор, то интенсивность потока обслуживаний m одинакова для всех состояний. Используя правила вычислений вероятностей состояний для данного процесса размноже­ния и гибели, получим

p₁ = p₀l/m = rp₀, …, p_k = r^kp₀, …,p_m+1 = r^m+1p₀

 

            .           (2.18)

 

 

В формуле (2.18) использован тот факт, что знаменатель является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем r. С по­мощью (2.18) можно рассчитать основные характеристики системы.

1. Вероятность отказа в соответствии с правилами работы сис­темы равна вероятности последнего состояния p_m+1:

.

2. Относительная пропускная способность

                                     (2.19)

 

3. Абсолютная пропускная способность

4. Среднее число заявок, находящихся в очереди (математи­ческое ожидание количества заявок), определяется путем суммирова­ния всех возможных длин очередей от 1 до m с их вероятностями в качестве весовых коэффициентов:

                           (2.20)

 

Подставляя в (2.20) значения вероятностей из (2.18), получим

                                     (2.21)

Для вычисления суммы в (2.21) воспользуемся методом дифференциро­вания рядов с учетом формулы суммы геометрической прогрессии со знаменателем r:

                         (2.22)

Следовательно, подставляя (2.22) и (2.18) в (2.21), получим

               (2.23)

 

5. Среднее число заявок, находящихся в системе:

где W - случайная величина, принимающая значения 0 (канал свобо­ден) и 1 (канал занят). Вероятность занятости канала (с учетом (2.19))

                                     (2.24)

 

Следовательно, M[W] = 0×p₀+l(l-p₀)=rq, откуда

6. Среднее время ожидания заявки в очереди  можно определить, усредняя времена ожидания заявок в очереди по всем состояниям S₁ + S_m+1, с учетом вероятностей этих состояний. Поскольку среднее время обслуживания одной заявки равно l/m, то среднее время ожидания заявки в очереди

            

Подставляя сюда выражение для p₁ из (2.18) и принимая во внимание формулу (2.22), имеем:

                       (2.25)

 

Сравнивая (2.25) и (2.21), получим  = /l. Таким образом, среднее время ожидания заявки в очереди равно среднему числу зая­вок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок. Среднее время нахождения заявки в системе  определяется аналогичным об­разом:

7. Среднее время простоя канала t_ПК, в соответствии с (2.17) равно:

где среднее время занятости  = 1/m, а p_ЗК определяется из (2.24). Тогда

Рассмотрим теперь предельный случай, когда число мест в очереди не ограничено (m®¥). Этот случай имеет смысл только при r<1. Тогда геометрическая прогрессия в знаменателе (2.18) сходится. Если же r>0, то Srⁱ=¥ и для любого конечного k

Это означает, что для любого k система рано или поздно пройдет состояние s_К и никогда в него не вернется, двигаясь все время вправо по графу процесса "размножения и гибели", т.е. очередь бу­дет разрастаться до бесконечности. Иными словами, если l³m, то система при бесконечной длине очереди не справляется с потоком заявок. Поэтому, когда m=¥ мы будем рассматривать только слу­чай r<1. Тогда в системе наступит стабилизация очереди на ка­ком-то конечном уровне. Для r<1, переходя в (2.18) к пределу при m®¥, будем иметь

                    (2.26)

Поскольку все заявки рано или поздно будут обслужены, то относи­тельная пропускная способность будет равна 1. Абсолютная пропускная способность А=lq=l. Среднее числа заявок в очереди (см.(2.23))

                                              (2.27)

 

Среднее число заявок в системе

                                              (2.28)

Среднее время ожидания в очереди  и среднее время нахождения заявки в системе t_c равны соответственно

                    (2.29)

 

Перейдем к рассмотрению многоканальной СМ0 с очередью. Пусть число каналов обслуживания равно n, а число мест в очереди - m. Если заявка приходит тогда, когда все nканалов заняты, она ста­новится в очередь. Если же заняты и все m мест в очереди, то за­явка получает отказ и покидает систему.

В такой СМО возможны следующие состояния: S₀ - все каналы свободны, очереди нет; S₁ - один канал занят, очереди нет; …; S_n - n каналов заняты, очереди нет; S_n+1 - n каналов заняты, в очереди стоит одна заявка; …; S_n+m - n каналов заняты, в оче­реди стоят m заявок.

Размеченный граф состояний данной СМО представлен на рис 2.5.

 

 

 

Рис. 2.5

 

Интенсивность потоков обслуживания, переводящих систему по цепочке влево, возрастает с подключением новых каналов до тех пор, пока СМО не достигнет состояния S_n. После того как в рабо­ту включатся все n каналов СМО, интенсивности потоков обслужива­ния остаются неизменными и равными nm для состояний S_n + S_n+m.

Введем обозначение

              æ = r/n = l/nm.                              (2. 30)

Величину æ назовем приведенной интенсивностью потока заявок многоканальной СМО. Тогда в соответствии с правилом вычисления веро­ятностей состояний для процесса размножения и гибели получим:

p₁ = rp₀, p_n+1 = rⁿæp₀/n!

p₂ = r²p₀/2!, p_n+2 = rⁿæ²p₀/n!

…

p_n = rⁿp₀/n!, p_n+m = rⁿæ^mp₀/n!

 

                                      (2.31)

 

Просуммируем геометрическую прогрессию со знаменателем æ в выражении для р₀. Получим

               .               (2.32)

 

Выражения (2.31) и (2.32) дают возможность по аналогии с одноканальной СМО определить все основные характеристики многоканальной СМО:

1. Вероятность отказа

      p_ОТК = p_n+m = rⁿæ^mp₀/n!

2. Относительная пропускная способность

      q = 1 - p_ОТК = 1 - rⁿæ^mp₀/n!

3. Абсолютная пропускная способность

      А = lq = l[1 - rⁿæ^mp₀/n!]

4. Среднее число заявок в очереди

5. Среднее число занятых каналов . Если каждый канал об­служивает в среднем m заявок в единицу времени, а вся СМО обслу­живает А заявок за то же время, то среднее число занятых каналов

                                       (2.33)

Отсюда можно определить вероятность занятости канала p_ЗК = /n.

6. Среднее число заявок, находящихся в системе, .

7. Среднее время ожидания заявки в очереди .

8. Среднее время ожидания заявки в системе .

Перейдем к предельному случаю при m®¥. Легко заметить, что этот переход возможен, как и в предыдущей СМО, только при æ < 1 (l < nm), так как в данном случае в выражении для р₀ суммиру­ется геометрическая прогрессия со знаменателем æ. Опуская проме­жуточные выкладки, которые рекомендуется проделать читателю, выпишем основные соотношения для предельного случая.

1. Предельные вероятности состояний

                                       (2.34)

p₁ = p₀r¹/1!      (i=1,…,n)

…

p_n+j = æ^jp₀rⁿ/n!   (j=n+1,…,¥)

2.Вероятность отказа Р_ОТК = 0, q = 1, A = l.

3. Среднее число заявок в очереди

                                 (2.35)

4. Среднее число занятых каналов z и среднее число заявок k, находящихся в системе:

                         (2.36)

 

Остальные характеристики находятся аналогичным образом.

В заключение рассмотрим СМО с ограниченным временем пребывания заявки в очереди. Будем считать, что число мест в очереди не ограничено (m=¥), а число каналов обслуживания равно n. Раз­меченный граф состояний такой системы представлен на рис.2.6, где состояния S₀ + S_n+rимеют тот же смысл, что и в предыдущем случае. Различие заключается в том, что заявки могут находиться в очереди ограниченное время, после чего они покидают систему, если за время ожидания их не успеют обслужить. Для того чтобы рассмот­реть такую СМО с "нетерпеливыми" заявками в рамках теории марковских процессов, будем считать, что на заявки, стоящие в очере­ди, действует пуассоновский "поток уходов" с интенсивностью v. Если среднее время ожидания заявки в очереди равно , то

 

 

Рис.2.6

Тогда интенсивности потоков, переводящих состояние системы влево, равны сумме интенсивности потока обслуживании nm и соответствую­щих интенсивностей потоков уходов rv = r/ , где r - число зая­вок, находящихся в очереди. Кроме приведенной интенсивности пото­ка заявок æ = l/nm введем также приведенную интенсивность потока уходов многоканальной СМО b = v/nm.

Тогда в соответствии с правилами вычисления вероятностей состоя­ний процесса размножения и гибели, граф которого изображен на рис. 2.7. получим:

                       (2.37)

 

 

Бесконечный ряд в выражении для р₀ сходится при любых æ и b. В этом можно убедиться, применяя любой известный признак сходимости рядов. Это означает, что поток уходов стабилизирует очередь и не позволяет ей разрастись до бесконечности. Среднее число заявок, находящихся в очереди такой СМО, можно определить обычным обра­зом:

Однако такой способ весьма затруднителен, так как требует вначале подсчета суммы членов бесконечного ряда в формуле (2.37), а затем необходимо снова определять сумму членов уже другого бесконечного ряда для нахождения среднего значения r. Это затруднение можно обойти следующим образом.

Определим вначале абсолютную пропускную способность. Если в очереди содержатся в среднем r заявок, то в единицу времени будет уходить vr заявок, а приходить - l заявок. Оставшиеся после ухо­дов заявки будут обслужены, следовательно.

             А = l - v  .                                   (2.38)

Относительная пропускная способность

                                         (2.39)

Среднее число занятых каналов определяется аналогично предыдущему случаю:

                                    (2.40)

 

Из (2.40) можно найти r:

                                               (2.41)

Таким образом, среднее число заявок в очереди мы выразили через среднее число занятых каналов. Эта величина, очевидно, получается в результате суммирования конечного ряда

Однако сумму этого ряда определить достаточно сложно из-за необходимости суммирования бесконечного ряда для нахождения р_n. Чтобы обойти это затруднение, сумму членов бесконечного ряда заменя­ют суммой (r-1) членов конечного ряда, отбрасывая все остальные члены, начиная с r-го. Легко показать, что погрешность вычисления суммы в результате такой замены

.

Заметим, что из (2.37) - (2.41) при v®0 (или b®0) в пределе получаем выражения для обычной многоканальной СМО с очередью ("нетерпеливые" заявки становятся "терпеливыми"). Вероятность от­каза в такой СМО с "нетерпеливыми" заявками не имеет смысла.

Все прочие характеристики СМО находятся способом, аналогичным ранее описанному.

 

Модель замкнутой системы

Рассмотренные ранее СМО характеризовались тем, что интенсив­ность входного потока заявок не зависела от состояния системы, т.е. от количества заявок, находящихся в очереди и в обслужива­нии. Однако существует обширный класс СМО, в которых интенсив­ность потока заявок зависит от состояния СМО: чем больше заявок находится в СМО, тем меньше интенсивность входного потока.

Определение. СМО, у которой интенсивность входного потока не зависит от ее текущего состояния, называется разомкнутой, в про­тивном случае - замкнутой.

Строго говоря, все СМО являются замкнутыми. Действительно, если каждый абонент городской АТС является источником заявок, то во время телефонных разговоров, т.е. когда несколько абонентов обслуживаются в СМО, они перестают быть источниками заявок и ин­тенсивность суммарного потока вызовов на АТС уменьшается. Однако ввиду огромного общего числа абонентов такие изменения суммарно­го потока практически невозможно заметить, поэтому АТС можно счи­тать разомкнутой СМО. Точно так же можно сказать и об автозапра­вочной станции, стоящей на оживленной автомобильной трассе.

Однако в ряде случаев количество источников заявок ограниче­но сравнительно небольшим числом. Так, например, если рассматри­вать как СМО бригаду слесарей-ремонтников, обслуживающих станки в некотором цехе, то такая СМО является замкнутой. Действительно если станок испортился и в данный момент либо ремонтируется, либо ожидает в очереди на ремонт, то он перестает быть источником зая­вок. Поскольку количество станков в цехе ограничено, то выход из строя одного или нескольких станков существенно сказывается на интенсивности потока заявок на обслуживание. То же самое можно сказать об авторемонтной мастерской, обслуживающей гараж како­го-либо предприятия, или об авиаремонтных базах, обслуживающих аэропорт. Если обозначить через R(t) случайное число заявок, на­ходящихся в очереди на обслуживание в момент времени t, Z(t) - случайное число обслуживаемых заявок в момент времени t, H(t) - случайное число заявок, не нуждающихся в обслуживании, m - общее число источников заявок, то в любой момент времени должно соблю­даться равенство

m = R(t) + Z(t) + H(t)

как для мгновенных значений, так и для математических ожиданий

                                                  (2.42)

Когда заявка обслужена, то она пополняет источники входных заявок, т.е. выходной поток СМО непосредственно связан с вход­ным и СМО называется замкнутой.

Назовем уравнение (2.42) уравнением расхода замкнутой СМО. Источники заявок замкнутой СМО назовем техническими устройствами (ТУ). Это могут быть самолеты, станки, автомобили и т.п. Тогда из уравнения расхода (2.42) следует ряд важных характеристик замкну­тых СМО.

Если общее число каналов обслуживания (например, рабочих-ре­монтников) равно n, то можно определить следующие коэффициенты для оценки эффективности СМО:

1. Коэффициент использования ТУ (вероятность того, что ТУ не будет нуждаться в обслуживании)

                                    (2.43)

2. Коэффициент ожидания c (вероятность того, что ТУ находит­ся в очереди на обслуживание)

                 c = /m.                                (2.44)

3. Коэффициент простоя канала обслуживания (вероятность не­занятости канала)

                   К_ПР= 1- /n.                           (2.45)

4. Коэффициент простоя ТУ (вероятность того, что ТУ находит­ся в очереди или в обслуживании)

            z = 1 - x =( + )/m.                         (2.46)

5. Коэффициент (вероятность) нахождения ТУ в обслуживании

             y = /m.                                   (2.47)

Если обозначить - среднее время ожидания заявки в очереди,  - среднее время обслуживания заявки в очереди, а  - среднее время безотказной работы ТУ, то на основании эргодического свойства будем иметь

y =  ( + + )^-1 , x =  ( + + )^-1,

     c = z-y = ( + + ) .

Рассмотрим теперь многоканальную замкнутую СМО с m источниками заявок и n каналами обслуживания. Размеченный граф состояний та­кой системы изображен на рис. 2.7.

 

Рис.2.7

Здесь S₀ - состояние СМО, когда все ТУ исправны и все каналы об­служивания свободны; S₁ - одно ТУ неисправно и находится в обслу­живании, остальные работают, очереди нет; S₂ - два ТУ находятся в обслуживании, очереди нет; …; S_n - n ТУ обслуживаются всеми n каналами, очереди нет; S_n+1 - n ТУ обслуживаются, одно стоит в очереди; …; S_m - все m ТУ неисправны, n - обслуживаются, m-n - стоят в очереди. Очевидно, что n<m (число наладчиков меньше числа ТУ). Интенсивность потока заявок уменьшается от ml до l по мере того, как ТУ одно за другим выходят из строя. Интенсивность пото­ка обслуживания нарастает по мере подключения новых каналов об­служивания от m до nm. Как только загружены все каналы, интенсив­ность потока обслуживания остается постоянной и равной nm для состояний S_n + S_m.

Пользуясь правилами нахождения вероятностей состояний для процесса размножения и гибели, граф которого представлен на рис.2.7, получим для состояний S₀ + S_n

                       (2.48)

 

Заметим, что

                                     (2.49)

Тогда (2.48) перепишется в виде

                        (2.50)

 

Остальные вероятности состояний с учетом (2.49) будут равны:

                   Р_n+r = rⁿæ^rp₀m!/n!(m-n-r)!,            (2.51)

где величина æ определяется из выражения (2.30), а вероятность р₀ равна:

                          (2.52)

 

Выражения (2.50)-(2.52) определяют предельные вероятности со­стояний замкнутой СМО. Зная эти вероятности, можно определить ос­новные характеристики СМО:

1. Вероятность отказа в такой системе равна 0, поэтому q = 1

2. Абсолютную пропускную способность А можно определить, зная среднее число занятых каналов z(2.33):

                 А = m.

3. Среднее число занятых каналов

                                         (2.53)

 

4. Среднее число заявок, находящихся в очереди:

                               (2.54)

 

5. Среднее число работающих ТУ можно найти из уравнения рас­хода (2.42):

                  

Зная величины ,  и , можно определить все интересующие нас коэффициенты (2.43)-(2.47), т.е. x, z, y,K_ПР, c.

6. Поскольку среднее время безотказной работы t_Р=1/l, то можно определить и среднее время простоя :

      .

Cреднее время простоя складывается из среднего времени обслужива­ния  и среднего времени ожидания в очереди . Поскольку среднее время обслуживания  = 1/m, то

                 

Таким образом, определены все основные характеристики замкнутых СМО. Заметим, что вычисление вероятностей состояний замкнутых СМО по формулам (2.50)-(2.52), а также математических ожиданий  и  по Формулам (2.53), (2.54) может быть упрощено использованием таблиц биномиального распределения и табулированных функций Р и R распределения Пуассона (см.(2.9)).

Читателю предлагается в качестве упражнения вывести все ос­новные соотношения для одноканальной замкнутой СМО (n =1).

2.4. Модели систем с различными дисциплинами подключения каналов к обслуживанию

Под дисциплиной подключения каналов к обслуживанию понимают правила, по которым обслуживающие приборы подключаются к обслужи­ванию поступающих заявок, при этом все заявки считаются равноцен­ными, с этой точки зрения различают две разновидности СМО: систе­мы со "взаимопомощью" между каналами обслуживания и системы без "взаимопомощи".

Ранее были рассмотрены только системы 2-го типа, в которых каждая заявка обслуживалась одним каналом; одновременное обслужи­вание одной заявки несколькими каналами не допускалось. Однако вряде случаев встречаются СМО, в которых для ускорения процесса обслуживания допускается подключение нескольких каналов к работе над одной заявкой. Например, два или несколько рабочих могут од­новременно ремонтировать один станок или автомашину, по одному самолету может стрелять несколько зенитных орудий, вычисления для одной задачи могут быть, распараллелены между несколькими ЭВМ. При этом возникает задача наилучшего распределения каналов обслужива­ния по работам, связанным с обслуживанием поступающих заявок.

Естественно предположить, что при "взаимопомощи" нескольких каналов время обслуживания одной заявки уменьшается. Иными слова­ми, интенсивность потока обслуживания является неубывающей функ­цией числа каналов, подключаемых к обслуживанию. При этом, начи­ная с некоторого критического числа k_КР интенсивность потока обс­луживания, по-видимому, не будет возрастать, т.е. нельзя подклю­чать бесконечно большое число приборов к выполнению одной работы. Поэтому будем считать, что интенсивность потока обслуживаний возрастает линейно с увеличением числа каналов обслуживания (m(k)=km) до определенного уровня (m_max = k_КРm), выше которого она подняться не может ни при каком увеличении k. Ограничим­ся рассмотрением СМО только для линейного участка этой зависимос­ти: m(k)=km, т.е. будем считать, что в каждом конкретном слу­чае можно найти число k_КР, которое и будет максимально возможным числом каналов, объединяющихся для "взаимопомощи". Возможны две дисциплины "взаимопомощи": сосредоточенная и равномерная.

В первом случае при появлении одной заявки ее начинают об­служивать все n каналов одновременно до окончания процесса обслу­живания. Если во время обслуживания приходит еще одна заявка, то она либо получает отказ, либо становится в очередь. После оконча­ния обслуживания все каналы переключаются на другую заявку (если есть очередь) или ж