Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Модели систем с непуассоновскими потоками заявок
В предыдущем разделе были рассмотрены СМО с пуассоновскими потоками обслуживании и заявок, когда время обслуживания и интервал между поступлениями двух следующих друг за другом заявок распределены по показательному закону. Это, однако, не всегда соблюдается на практике. Рассмотрим несколько частных случаев, где получены аналитические результаты в явном виде, и укажем один общий подход, существенно расширяющий класс исследуемых СМО [6]-[8]. СМО с отказами. Б.А.Севастьяновым рассмотрена система Эрланга с пуассоновским потоком заявок интенсивностью lи с потоком обслуживания, в котором закон распределения времени обслуживания одной заявки является произвольным. Обозначим этот закон через f(tОб). Тогда среднее время обслуживания определится как
Б.А.Севастьяновым доказано, что формулы Эрланга (2.8) справедливы и в этом случае. Следовательно, на данный случай распространяются все выражения для характеристик СМО Эрланга, полученные ранее. СМО с очередью. Аналогичный случай (с пуассоновским потоком заявок и произвольным законом распределения времени обслуживания) был рассмотрен применительно к одноканальной СМО с неограниченной очередью (n=1, m=¥). Определим дисперсию времени обслуживания:
Назовем отношение st/tОб = d коэффициентом вариации времени обслуживания. Очевидно, что для пуассоновского потока d = 1. Полячеком, Хинчиным и Кендаллом независимо друг от друга показано, что среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания в очереди равны соответственно (3.1)
Формулы (3.1) называются формулами Полячека-Хинчина. Для d = 1 (пуассоновский поток) формулы (3.1) превращаются в полученные ранее выражения для простейшей одноканальной СМО с очередью (2.27) и (2.29). Для d = 0 (время обслуживания не случайно и равно своему математическому ожиданию) из (3.1) и (2.27), (2.29) следует, что при строго постоянном времени обслуживания и средняя длина очереди, и среднее время ожидания вдвое меньше, чем при случайном (показательном) времени обслуживания. Приведенные формулы являются наиболее известными в теории непуассоновских СМО. Большое количество других результатов, относящихся к таким СМО, приведено в [7], [8]. Многие реальные потоки можно аппроксимировать потоками Эрланга. В потоках Эрланга k-го порядка имеет место следующее соотношение между математическим ожиданием и дисперсией:
(mt(k))2/Dt(k) = k ³ 1 (3.2) Следовательно, аппроксимация реального потока потоком Эрланга возможна, если для первых двух моментов распределения интервалов времени между двумя соседними событиями в реальном потоке справедливо соотношение (3.2). В случаях, когда это соотношение не выполняется, возможна аппроксимация реального потока обобщенным потоком Эрланга [7], однако этого вопроса мы здесь касаться не будем. Если для реального потока измерены величины mt и Dt, то выбор порядка k аппроксимирующего потока Эрланга определяется соотношением (3.2). Пусть реальный поток аппроксимируется потоком Эрланга k-ro порядка. Это означает, что переход из одного состояния в другое под действием потока Эрланга можно представить состоящим из стадий или псевдосостояний. Переход из каждого такого искусственно вводимого псевдосостояния в другое происходит через промежутки времени t’, t" и т.д., которые распределены по показательному закону. Это значит, что процесс в системе будет марковским. Если же такие псевдосостояния не вводить, то переход из одного состояния в другое будет зависеть от времени нахождения системы в данном состоянии. Это время (последействие) тем больше, чем больше порядок потока Эрланга. Поэтому СМО с эрланговскими потоками называется системой с ограниченным последействием. Множество псевдосостояний, заменяющее одно из реальных состояний в системе с ограниченным последействием, называется транзитивным подмножеством [7]. В связи с тем, что при замене реального состояния транзитивным подмножеством в это одно состояние "вкладывается" целая марковская цепочка, такой метод исследования систем с ограниченным последействием называется методом вложенных цепей Маркова. Иногда применяют иное название - метод псевдосостояний [1]. Рассмотрим применение метода вложенных цепей Маркова к анализу СМО. Пусть на вход одноканальной СМО с очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью l. Время обслуживания распределено по закону Эрланга 2-го порядка (k=2) с математическим ожиданием 1/m. Очевидно, что время обслуживания представляет собой сумму двух независимых случайных величин, распределенных по одному и тому же экспоненциальному закону с математическим ожиданием 1/m’. Очевидно, что l/m=2/m’, откуда m’=2m. Следовательно, переход из одного псевдосостояния в другое происходит под действием потока обслуживаний с интенсивностью 2m. Интервал обслуживания содержит два этапа обслуживания, например отыскание неисправности и ее устранение, если обслуживание сводится к ремонту ТУ. Тогда размеченный граф состояний будет иметь вид, представленный на рис.3.1, где состояния системы следующие: S0 – канал свободен, заявок нет; S1,1 - канал занят обслуживанием заявки, очереди нет; S1,2 - обслуживание одной заявки на втором этапе, очереди нет; S2,1 - в СМО две заявки - первая обслуживается на первом этапе, вторая стоит в очереди, S2,2 - в СМО две заявки, первая обслуживается на втором этапе, вторая - стоит в очереди; …; Sk,1 - в СМО находятся k заявок, одна - на первом этапе обслуживания, остальные - в очереди; Sk,2 - в СМО k заявок: одна – на втором этапе обслуживания, остальные - в очереди; …; Sm+1 - в СМО находятся m заявок, вновь приходящие заявки получают отказ.
Рис.3.1
Этот граф легко продлить и до бесконечности (m®¥). Вправо систему переводят потоки заявок с интенсивностью l, причем переход вправо возможен как из состояний Sk,1, так и Sk,2 в зависимости от того, какой этап обслуживания застанет вновь приходящая в СМО заявка. Влево переводят систему потоки обслуживаний с интенсивностью 2m. Полученный граф существенно сложнее графа процесса размножения и гибели. Записав для каждой вершины графа соотношения для вероятностей состояний в соответствия с правилом, приведенным в 1.2. получим: rp0 = 2p1,2 (r+2)p1,1 = rp0 + 2p2,2 (r+2)p1,2 = 2p1,1 (r+2)p2,1 = rpk-1 + 2p3,2 … (r+2)pk,1 = rpk-1,1 + 2pk+1,2 (r+2)pk,2 = rpk-1,2 + 2pk,1 rpm,1 = 2pm+1
Итак, система с потоками Эрланга сведена с помощью метода вложенных цепей Маркова к марковской цепи. Вычисляя соответствующие вероятности, можно определить все интересующие нас характеристики. При повышении порядка потока Эрланга увеличивается число псевдосостояний и решение соответствующих систем уравнений становится затруднительным. Модели многофазных систем Многофазными называются СМО, которые состоят из нескольких последовательно соединенных отдельных подсистем массового обслуживания, причем входящий поток каждой последующей подсистемы является выходящим потоком предыдущей. Многофазные СМО предназначены для выполнения некоторого полного цикла обслуживания одной заявки, когда по различным причинам этот цикл целесообразней разделить на несколько фаз (например, обслуживание в магазине, где покупатели сначала стоят в очереди в кассы, а затем обслуживаются у продавцов). В качестве подсистем СМО на каждой фазе обслуживания будем рассматривать одно- и многоканальные системы с очередями, в которых число мест не ограничено (m=¥). При этом будем считать, что выполняются условия стабилизации очереди, т.е. r < 1 и æ = l/mр < 1. Для исследования многофазных СМО ключевым вопросом является нахождение характеристик выходящего потока каждой из подсистем. Покажем, что при сделанных выше предположениях и при пуассоновских потоках заявок и обслуживания выходящий поток СМО будет также пуассоновским.
Рассмотрим для простоты одноканальную СМО. Пусть pn(t/i) - условная вероятность того, что в промежуток времени (t,t+t) произошло n обслуживании при условии, что за это же время в системе находилось i заявок (рис.3.2). Поскольку рассматривается установившееся состояние СМО, то вероятность нахождения заявок в одноканальной СМО с бесконечной очередью i в соответствии с (2.26) pi = ri(1 - r) (3.3)
Рис.3.2
Рассмотрим малый промежуток времени (t,t+Dt). Появление события в этом промежутке определяется величиной элемента вероятности появления события (1.27). При этом возможны три случая: - если за время Dt приходит новая заявка с вероятностью pi=lDt, то число заявок возрастает на единицу, а число обслуживаний будет тем же. Тогда в оставшийся промежуток времени t-Dt число заявок возрастет на единицу, а число обслуживании не изменится, чему будет соответствовать условная вероятность рn=(t-Dt/i+1); - если за время Dt с вероятностью р2=mDt заканчивается обслуживание одной заявки, то в промежутке t-Dt число окончаний обслуживаний будет равно n-1, при этом обслуженная заявка покинет систему и число заявок в системе будет равно 1. Соответствующая условная вероятность будет равна рn-1((t-Dt)/(i-1)); - если за время Dt не поступит ни одной заявки и не закончится ни одно обслуживание с вероятностью Р3=1-(p1+p2)=1-(m+l)Dt, то этому состоянию по определению будет соответствовать условная вероятность рn(t-Dt/i). Тогда условные вероятности будут связаны соотношением рn(t/i)=pn(t-Dt/i+1)l×Dt+pn-1(t-Dt/i-1)mDt+[1-(m+l)Dt]pn(t-Dt/i) (3.4) После элементарных преобразований (3.4) и перехода к пределу при Dt®0 получаем дифференциальное уравнение dpn(t/i)/dt=lpn(t/i+1)+mpn-1(t/i-1)-(l+m)pn(t/i) (3.5) В (3.5) можно перейти от условных к безусловным вероятностям, используя формулу полной вероятности где рn(t) - вероятность того, что за время t в системе произойдет n окончаний обслуживаний. Очевидно, что (3.6) Умножим обе части (3.5) на вероятность рi, определяемую из (3.3), и произведем суммирование обеих частей (3.5) по i от 0 до ¥. Из (3.3) следует, что pi=rрi-1 и рi=rpi+1. С учетом этого обстоятельства и формулы (3.6) получим dpn(t)/dt=-lpn(t)+lpn-1(t) (3.7)
Очевидно также, что dp0(t)/dt=-lр0(t) (3.8) и (3.7) и (3.8) следует интегрировать с начальными условиями p0(0)=1, p1(0)=0, …, рn(0)=0 (3.9) отражающими тот факт, что за нулевой отрезок времени не происходит ни одного события. Система уравнений, состоящая из (3.7) и (3.8) с начальными условиями (3.9), полностью совпадает с системой (1.18), которая определяет вероятности попаданий n событий на интервал t для пуассоновского потока. Следовательно, мы доказали, что выходящий поток СМО с неограниченной стабилизированной очередью при пуассоновских потоках обслуживания и заявок также является пуассоновским. В связи с этим различные подсистемы в многофазной СМО можно рассматривать независимо друг от друга как системы, находящиеся под воздействием одного и того же потока заявок интенсивности l и потоков обслуживания в общем случае с различными интенсивностями mi(i=1,…,k). Состояние СМО характеризуется вероятностью некоторого распределения заявок по каждой из подсистем (3.10)
с условием нормировки (3.11) Принимая во внимание формулу (2.28) для среднего числа заявок в отдельной СМО, получим выражение для математического ожидания числа заявок в многофазной СМО: (3.12)
Используя формулы (2.34)-(2.36) для многоканальной СМО, можно получить выражения, аналогичные (3.10)-(3.12) для случая применения таких СМО в качестве отдельных подсистем многофазной СМО.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-12-07; просмотров: 62; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.129.23.30 (0.02 с.) |