Description of installation and measuring method

 

The cross-shaped pendulum is Oberbeck's pendulum. It consist of two sheaves with radii are r₁ and r₂, and four crosswise shafts. Four loads with equal masses m are able to move along shafts. A thread is wound on one of the sheaves. A load P = mg is fasten to the other end of the thread. When the load P falls, the thread unwinds. A mechanical brake is possible to operate the motion of the load from the start to the end of its motion.

The displacement of the load can be measured by means of on indicator panel. It is not difficult to show that the acceleration of the load is

,

where h is the distance of the falling load; t is the time of the falling load.

The load is allowed to fall under the action of its own weight. It equals mg. The line acceleration of the point at the sheaf surface is equal to the load acceleration. Then angular acceleration can be represented as

, (15.1)

where r is radius of the sheaf. According to the second Newton's law

,

where N is pull of the thread. Then, pull of the thread is given by

.

Moment of force at the cross-shaped pendulum may be expressed as

.

In our experiment conditions usually a << g. Then

. (15.2)

The fundamental equation of motion for a rotating body is as follows

, (15.3)

where I is the moment of inertia of the pendulum; ε is the angular acceleration of the pendulum. From the formulas (15.2) and (15.3) it follows that

. (15.4)

Taking (15.1) into consideration of formula (15.4) one may receive

. (15.5)

If I = const, then

.

If M = const, then

.

Moment of inertia of the cross-shaped pendulum consists of the moment of inertia of the cross-shaped I_l (as is shown on the device) and moment of inertia of four loads at the shafts

(15.6)

where m is the mean mass; R is the distance between the axis of revolution and the centre of gravity loads m.

Task 5.1

 

THE AIM is to determine the angular accelerations and moments of forces of the pendulum when values of falling loads are different and when moment of inertia is constant.

1. Put down the data of measurements in table 15.1.

 

 

Table 15.1

№	t, s	m, kg	r, m	h, m	ε, s^-2	M, N˙m	Note
							The measurement is done with the system of fife loads
					The load is decreased by one part.
					The load is decreased by two parts.
					The load is decreased by three parts.
					The load is decreased by four parts.

 

2. Calculate Δε/ε. Put down the results of calculations in table 15.2.

 

Table 15.2

N	ti, s	Δti,s	Δti^2, s^2	Half-width of the trust interval	Δε/ε
Δt, s	Δh, m	Δr, m	Δε, s^-2

 

Σt_i = ΣΔt_i²=

 

3. Put M versus ε on the graph.

4. Determine the moment of the friction forces and moment of inertia on the graph.

5. Make analysis of the experiment results.

Task 5.2

 

THE AIM is to determine the angular acceleration and moments of forces of the pendulum with different values of the sheaves radius and when moment of inertia is constant.

 

1. Put down the data of measurements in table 15.3.

 

Table 15.3

№	t1, s	r, m	m, kg	h, m	ε, s^-2	M, N˙m	Note
							The measurements are made when a thread is wound on big sheaf
					The measurements are made on other four sheaves

 

2. For the first five measurements use average time t, when you calculate ε.

3. Calculate for one measurement. Calculate the half-width of the confidence interval for r to use the main errors of measurement, m₀ and g are table values.

4. Calculate the half-width of the confidence interval for t using the first five measurements.

5. Put down the data of measurements in the table 15.4.

 

Table 15.4

№

ti s

Δti, s

Δti^2, s^2

Half-width of the trust interval

ΔM/M

Δt, s

Δr, m

Δm, kg

Δg, m/s^2

ΔM, N˙m

ΣΔti^2=

 

6. Put M versus ε on the graph.

7. Determine moment of inertia on the graph.

8. Make analysis of the experiment results.

 

Task 5.3

 

THE AIM is to determine moment of inertia of four loads at the shafts with dynamics and theoretical methods.

1. Put the data of measurements in the table 15.5.

 

Table 15.5

№	t, s	, s	m0, kg	r, m	h, m	R, m	, g	I1, kg˙m^2	I0, kg˙m^2	, g˙m^2

 

2. Determine the moment of inertia of four loads at the shafts with the dynamics method.

,

where I₀ is the moment of inertia of cross-shaped pendulum (I₀ = 4,15×10^-2 кg×m²); k is a coefficient, it takes into consideration the mean forces of friction and errors of the time measurements (k = 1.1).

3. Calculate the moment of inertia of four loads at the shafts by the formula

,

where is the mean mass of four loads; R is distance between the axis of rotation and the centre of load's gravity.

4. Calculate ΔI/I as an error of indirect measurement. Calculate the half- width of the confidence interval for r and h as a direct measurement errors, m and g are the table values. Calculate the half-width of the confidence interval of t as five direct measurements error.

5. Put the results of calculation in table 15.6.

 

Table 15.6

N	ti, s	Δti, s	Δti^2, s^2		ΔI/I
Δt, s	Δl, m	Δr, m	Δm, kg	Δg, m/s^2	ΔI, kg˙m^2
	Σt­i = =	ΣΔti^2=

 

6. Analyse the experimental results and draw the conclusion.

m₀ = 0,5 kg; m(I) = 0,592 kg; m(II) = 0,59 kg; m(III) = 0,575 kg;

m(IV) = 0,592 kg; I₀ = 4,5_˙10^-2 kg_˙m²

 

Task 5.4

THE AIM is to determine the angular accelerations and moments of inertia of the pendulum when the load masses at the shafts are changed and the moment of force is constant.

 

1. Put down the data of measurements in table 15.7.

 

 

Table 15.7

№	T,s s	The middle mass of the load , kg	r, m	h, m	R, m	ε0^, s^-2	I, kg·m^2	1/I, kg^-1·m^-2	Note
									Measurement with the first set of loads
									…with the second set of loads.
									…with the third set of loads.
									…with the fourth set of loads.
									…with the set of loads.

 

2. Calculate angular acceleration defined by

.

3. Calculate moments of inertia given by

,

where I₀ is the moment of inertia of the pendulum without loads (I₀ = 4,6×10^-2 кg/m²); m is the mean mass of four loads at the shafts; R is the distance between the axis of revolution and the centre if gravity loads.

4. Calculate and Δε for five measurements. Calculate the half-width of the confidence interval for r and h using the main errors of measurements. Calculate the half-width of the trust interval for t using five measurements.

5. Results of calculation carry in the table 15.8.

 

Table 15.8

№	ti, s	Δt, s	Δti^2, s^2	Half-width of the trust interval
Δt, s	Δh, m	Δr, m	Δε, s^-2

∑ t_i = ∑Δ t_i²= =

 

6. Make analysis of the experiment results.

 

Task 5.5

THE AIM is to determine the angular accelerations and moments of inertia of the pendulum with changed distance of the loads at the shafts and a moment of force is constant.

 

1. Measure t and h for five different distances of the loads at the shafts.

2. Put down the data of measurements in table 15.9.

 

Table 15.9

№	r, m	h, m	, kg	t, s	R, m	R^2, m^2	ε, s^-2	I, kg·m^2	Note
									The measurementon the arrangement of the loads the first position.
						The measurement on the next position.

 

3. Calculate angular acceleration defined by

.

4. Calculate moment of inertia given by

,

where I₀ is the moment of inertia of the pendulum without loads () kg m²; m is the mean mass of four loads at the shafts; R is the distance between the axis of revolution and centre of gravity loads.

5. Calculate ΔI and for one measurement. Calculate the half-width of the confidence interval for R to use main errors of measurements, and m is the table values; ΔI₀ =

6. Put down the results of calculations in table 15.10.

 

Table 15.10

№	ti, s	Δti. s	Δti^2, s^2	Half-width of the trust interval
Δt, s	ΔR, m	Δm, kg	Δ I0, kg·m^2	Δ I,kg·m^2

∑ t_i = ∑Δ t_i²= =

 

7. Put I versus R² on the graph.

8. Put I versus ε on the graph.

9. Make analysis of the experimental results.

 

Task 5.6

 

THE AIM is to determine moment of inertia of the pendulum with dynamics and theoretical methods.

NSTRUMENTATION AND APPLIANCES: cross-shaped pendulum, seconds counter, set of loads

1. Put down the data of measurement in table 15.11.

 

Table 15.11

№	t,s	, s	m0. kg	r, m	h, m	R, m	, kg	l, m	R1, m	I, kg·m^2	I^’, kg·m^2

 

2. Determine the moment of inertia of the pendulum by with the dynamics method

 

where k is the correct coefficient, it takes into consideration the mean forces of friction and errors of the time measurement (k=.3); m is the mass of the falling load; r is radius of the sheaf; t is the time of the load fall.

3. Determine the moment of inertia of the pendulum with the theoretical method

,

where is the mean mass of four loads at the shafts; R is the distance between the axis of revolution and the centre of gravity loads; m is the mass of one shaft; m is the mass of the hoop; R₁ is the radius of the hoop.

4. Calculate . Calculate the half – width of the confidence interval for r and h using the main errors of measurements and m and g are the table values. Calculate the half-width of the trust interval for t using five measurements.

5. Put down the results of calculation in table 15.12.

 

 

Table 15.12

№	ti, s	Δti. s	Δti^2, s^2	Half-width of the trust interval
Δt, s	Δr, m	Δm0, kg	Δg, m/s^2	Δ I, kg·m^2

∑ t_i = ∑Δ t_i²= =

 

6. Compare I and I′. Make analysis of the experiment results.

 

Control questions

1. Obtain a relationship between linear and angular velocity.

2. Obtain a kinetic energy of rotation.

3. Obtain a formula for moment of inertia if the entire disk.

4. How is a moment of force determined?

5. Obtain the fundamental equation of rotation.

6. Make a comparison between the formulas of motion of a particle and derive the laws for the rotation of a solid body.

7. Obtain the law of conservation of momentum for the rotation motion.

8. What is a gyroscope?

 

Author: S.V. Loskutov, professor, doctor of physical and mathematical sciences.

Reviewer: S.P. Lushchin, the reader, candidate of physical and mathematical sciences.

 

Approved by the chair of physics. Protocol № 3 from 01.12.2008.

 

16 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6. Перевірка ТЕОРЕМИ ШТЕЙНЕРА

 

ПРИЛАДИ: пристрій на тринитковому підвісі, два циліндри, штан­генциркуль.

МЕТА РОБОТИ: визначити момент iнерцiї циліндру, що обертаєть­ся відносно вісі, яка не проходить через центр мас, дослідним шляхом та за теоремою Штейнера.

ЗАВДАННЯ ДО РОБОТИ:

1. Розрахувати момент iнерцiї ненавантаженого диску I_д.

2. Обчислити момент iнерцiї системи I₁, яка складається з диску i двох циліндрів.

3. Визначити момент iнерцiї циліндра i дослідним шляхом i за до­помогою теореми Штейнера.

4. Впевнитись, що теореми Штейнера справедлива.

 

16.1 Опис пристрою та методу вимірювання

 

Момент iнерцiї матеріального тіла – це скалярна фізична вели­чи­на, яка є мірою iнертностi тіла в обертальному русi. Момент iнерцiї залежить від маси, форми та розмiрiв тіла, розподілення маси відносно осi обертання, вибору осi обертання. У цій роботі використовуєть­ся пристрій на тринитковому підвісі, який дозволяє визначити моме­нти iнерцiї простих тіл. Пристрій складається з диску (2), котрий при­водиться у коливальний рух за допомогою приводу (6). Внаслідок по­вороту рукоятки приводу (5) відбувається закручування пружи­ни (8), котра, розкручуючись, пере­дає імпульс обертального руху вер­х­ньому диску (7). Металеві нитки (4) дещо нахиляться, від чого центр мас си­с­теми зміщується вздовж осi обертання.

Момент сил пружності нама­гається повернути диск в положення рівноваги. Нижній диск здійснює обертальні коливання, період котрих залежить від моменту iнер­цiї системи. Оскільки центр мас диску зміщується, то змінюється його потенціальна енергія. Використовуючи закон збереження меха­нічної енергії, одержимо фо­р­мулу, що дозволяє визначити момент iнерцiї нижнього диску:

, (16.1)

де m_Д – маса нижнього диску; g - прискорення вільного падіння; R - відстань від центру диску до точок, в яких кріпляться нитки до нього; r - радіус нижнього диску; L – довжина ниток пiдвiсу; Т – період ко­ливань.

, (16.2)

де – час кількох коливань; k – число коливань.

Формула (16.1) дає можливість визначити момент iнерцiї диску з розміщеними на ньому тілами. Згідно теореми Штейнера

, (16.3)

де I₀ – момент iнерцiї циліндру відносно осi 1 (рисунок 16.2а); I - мо­мент iнерцiї циліндру відносно осi 2 (рисунок 16.2б); m - маса циліндра; a - відстань між осями (рисунок 16.2б).

Рисунок 16.1

 

Момент iнерцiї циліндра відносно осi 2 можна визначити i дослідним методом:

, (16.4)

де I₁ – момент iнерцiї системи, що складається з диску та двох цилiн­дрiв, розміщених на однакових відстанях a від осi обертання (рисунок 16.2б); I_Д – момент iнерцiї ненавантаженого диска (рисунок 16.2в). Момент iнерцiї циліндра I₀ визначається за формулою:

, (16.5)

де r_ц – радіус циліндра. Підставивши I₀ в (16.3) i маючи, на увазі, що , одержимо

. (16.6)

 

 

 

 

 

Рисунок 16.2

 

Порядок виконання роботи

 

1. Відхилити ненавантажений диск на 5 маленьких поділок лімбу (1).

2. Визначити час t_Д 10 коливань.

3. Повторити вимірювання ще два рази.

4. Розташувати в отворах диску два циліндра на однакових відстанях a від осi обертання.

5. Визначити час t 10 коливань диску з двома циліндрами за п.1 ÷ 3.

6. Замiряти один раз відстань a та діаметр циліндру d.

7. Визначити період коливань ненавантаженого диску T_Д та період ко­ливань диску з двома циліндрами Т за (16.2), використовуючи середні значення t_Д та t.

8. Обчислити момент iнерцiї ненавантаженого диску I_Д за (16.1),

вико­ристовуючи значення: m_Д = 2 кг, R = 0,13 м, r =5,5×10^{-2, L} = 2,2 м.

9. Обчислити момент iнерцiї диску з двома циліндрами I₁ за (16.1), вико­ри­сто­вуючи замість m_Д значення m_Д + 2 . Маса m в грамах означена на циліндрах.

10. Визначити момент iнерцiї циліндру відносно осi 2 дослідним ме­то­дом за (16.4).

11. Обчислити момент iнерцiї циліндру I відносно осi 2 згідно теореми Штейнера за(16.6). Дані вимірювань та обчислень занести у таблицю 16.1.

 

Таблиця 16.1

№

tД, с

t, с

TД, с

Т, с

a, м

d, м

IД, кг×м^2

I1, кг×м^2

кг×м^2

I кг×м^2

ср.

12. Порівняйте одержані результати та i зробить висновок про справедливість теореми Штейнера.

 

Контрольні запитання

1. Дайте визначення для параметрів обертального руху: моменту си­ли, iнерцiї, імпульсу, кутової швидкості, кутового прискорення.

2. Запишiть формули для обчислення роботи та кінетичної енергії обер­та­ль­ного руху.

3.Вивести основне рівняння динаміки обертального руху.

4.Записати закон збереження моменту імпульсу.

5.Вивести спiввiдношення для кінетичної енергії обертального руху.

6.Записати теорему Штейнера.

 

Рекомендована література

 

1. Савельев И.В. Курс общей физики.Т.1.- М.: Наука, 1982.- С. 45-48, 134-136, 140-144, 151-152.

2. Кортнев А.В. Практикум по физике. - Киев: Высшая школа, 1963.- С.79.

3. Оселедчик Ю.С. та ін. Інтерактивний модульний курс загальної фізики / Запоріжжя, 2004.- 442 с.

4. Г.Ф. Бушок, Є.Ф. Венгер Курс фізики. Кн.1 / К.: Вища школа.-2003.-311 с.

 

Iнструкцiю склав доцент кафедри фізики Єршов А.В.